非コンパクトなリーマン面とシュタイン多様体とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/24 14:45 UTC 版)

「シュタイン多様体」の記事における「非コンパクトなリーマン面とシュタイン多様体」の解説

X を連結かつ非コンパクトなリーマン面とする。ベーンケとシュタインの 1948 年の重要な定理では、このとき X はシュタイン多様体であることが主張されている。 グラウエルト（英語版）とロール（英語版）による 1956 年の別の結果ではさらに、X 上のすべての正則ベクトル束は自明であることが主張された。 特に、すべての直線束は自明であるため、 H 1 ( X , O X ∗ ) = 0 {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0} が成立する。指数層系列は次の完全系列を導く： H 1 ( X , O X ) ⟶ H 1 ( X , O X ∗ ) ⟶ H 2 ( X , Z ) ⟶ H 2 ( X , O X ) . {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}).} 今、カルタンの定理 B により、 H 1 ( X , O X ) = H 2 ( X , O X ) = 0 {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0} であるため、 H 2 ( X , Z ) = 0 {\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0} である。 これはクザン問題の、特に第二クザン問題の解と関連している。

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