複素数の積の性質による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/23 09:35 UTC 版)
「ド・モアブルの定理」の記事における「複素数の積の性質による証明」の解説
証明 — 複素数の積の性質を用いても導出できる。θ, φ ∈ C に対して ( cos θ + i sin θ ) ( cos ϕ + i sin ϕ ) = ( cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ ) + i ( sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ ) = cos ( θ + ϕ ) + i sin ( θ + ϕ ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \phi +i\sin \phi )&=(\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi )+i(\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi )\\&=\cos(\theta +\phi )+i\sin(\theta +\phi )\end{aligned}}} が成り立つ。よって帰納的に ( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta } が分かる。(Q.E.D.)
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