素因数分解の一意性とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/15 08:07 UTC 版)

「ガウス整数」の記事における「素因数分解の一意性」の解説

ガウス整数環の特筆すべき性質として、素元分解整域（一意分解環などともいう）であるという事実がある。つまり、 任意のガウス整数は積の順序・同伴による違いを除いてガウス素数の積で一意に表すことができる という定理がある。 例： 5 = (1 + 2i)(1 − 2i) = (2 + i)(2 − i) は2通りの因数分解を与えているが、1 + 2i と 2 − i、1 − 2i と 2 + i がそれぞれ同伴であるので、これらは同じ因数分解とみなす。 （有理整数環で 6 = 2 × 3 = (−3) × (−2) は区別しないのと同様である） 素因数分解の一意性は、当然成り立つことであるかのように誤解されることは多い。初等教育・中等教育では、有理整数の素因数分解の一意性の非自明性について触れられることはほとんどないが、しかし √2 が無理数であることの証明で、素因数分解の一意性を用いずに証明している、という点が挙げられる。歴史的にも長い間証明が必要なこととは認識されていなかった。しかし、例えば Z [ − 5 ] := { a + b − 5 ∣ a , b ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]:=\{a+b{\sqrt {-5}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}} においては 6 = 2 × 3 = (1 + √−5)(1 − √−5) であるので素因数分解（正確には既約元分解）の一意性が成り立たない。 Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} の単数は 1, −1 のみなので、同伴の違いでもない。そもそも、2, 3, 1 + √−5, 1 − √−5 は既約元ではあるが素元ではないので、一意性以前に素元分解ができないのである。なお、素元分解ができれば一意的であることは、素元の定義より直ちに分かる。

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