生存時間分布関数と事象密度とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 21:05 UTC 版)

「生存分析」の記事における「生存時間分布関数と事象密度」の解説

関連する量は、生存関数の観点から定義される。 生存時間分布関数（lifetime distribution function）は、慣習的に F と表記され、生存関数の補数として定義される。 F ( t ) = Pr ( T ≤ t ) = 1 − S ( t ) . {\displaystyle F(t)=\Pr(T\leq t)=1-S(t).} F が微分可能の場合、その微分は生存時間分布の密度関数であり、慣習的に f で表される。 f ( t ) = F ′ ( t ) = d d t F ( t ) . {\displaystyle f(t)=F'(t)={\frac {d}{dt}}F(t).} この関数 f は、事象密度（event density）と呼ばれることもあり、単位時間当たりの死亡または故障事象の割合である。 生存関数は、確率分布と確率密度関数で表すことができる。 S ( t ) = Pr ( T > t ) = ∫ t ∞ f ( u ) d u = 1 − F ( t ) . {\displaystyle S(t)=\Pr(T>t)=\int _{t}^{\infty }f(u)\,du=1-F(t).} 同様に、生存事象密度関数（survival event density function）は次のように定義できる。 s ( t ) = S ′ ( t ) = d d t S ( t ) = d d t ∫ t ∞ f ( u ) d u = d d t [ 1 − F ( t ) ] = − f ( t ) . {\displaystyle s(t)=S'(t)={\frac {d}{dt}}S(t)={\frac {d}{dt}}\int _{t}^{\infty }f(u)\,du={\frac {d}{dt}}[1-F(t)]=-f(t).} 統計物理学などの他の分野では、生存事象密度関数は初通過時間密度（英語版）（first passage time density）と呼ばれている。

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