球面とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:24 UTC 版)

「オイラー類」の記事における「球面」の解説

label=n-次元球面 Sn のオイラー標数は、 χ ( S n ) = 1 + ( − 1 ) n = { 2 n  even 0 n  odd . {\displaystyle \chi (\mathbf {S} ^{n})=1+(-1)^{n}={\begin{cases}2&n{\text{ even}}\\0&n{\text{ odd}}.\end{cases}}} である。従って、偶数次元の球面の接バンドルには 0 となるような切断は存在しないので、接バンドルは非自明である。つまり、S2n 平行化可能多様体（英語版）(parallelizable manifold)ではなく、特に、リー群の構造を持たない。 奇数次元の球面 S2n−1 ⊂ R2n に対しては、どこでも 0 とならない切断は、 ( x 2 , − x 1 , x 4 , − x 3 , … , x 2 n , − x 2 n − 1 ) {\displaystyle (x_{2},-x_{1},x_{4},-x_{3},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1})} で与えられ、オイラー類が消滅することを示している。これはまさに、円の上の普通の切断の n 個のコピーである。 偶数次元の球面のオイラー類が 2[S2n] ∈ H2n(S2n, Z) と対応するように、2つのバンドルのホイットニー和のオイラー類は 2つのバンドルのオイラー類のカップ積であるという事実を使うと、偶数次元の球面の接バンドルには非自明な部分バンドルが存在しないことが分かる。 球面の接バンドルは、安定的自明バンドルであるが自明なバンドルではないので、すべての他の特性類はその上では消滅し、オイラー類は単に、球面の接バンドルの非自明性を検出する通常のコホモロジー類である。さらに深い結果を証明するには、第二コホモロジー作用素（英語版）(secondary cohomology operation)や K-理論を使う必要がある。

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