無限小および無限大超実数の性質とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 06:18 UTC 版)

「超実数」の記事における「無限小および無限大超実数の性質」の解説

超実数体 *R の有限な元全体 F は局所環（実は付値環）であり、その唯一の極大イデアル S は無限小元全体によって与えられ、剰余体 F/S は実数体 R に同型になる。従って環準同型 st: F → R で ker(st) = S かつ、各値 st(x) (x ∈ F) は x − st(x) ∈ S となる唯一の標準実数となるものの存在が言える。言い方を変えれば、任意の有限超準実数 x は、ただ一つの標準実数 st(x) に（それらの差 x − st(x) が無限小となるという意味で）「極めて近い」のである。この標準実数 st(x) を x の標準成分（英語版） と言い、概念的には x に最も近い実数を意味するものである。この函数 st は順序を保つ環準同型であり、従って代数学的にも順序論的にもよく振る舞う。 st は順序を保つが、同調写像ではない。すなわち x ≤ y ⇒ st(x) ≤ st(y) だが、x < y は st(x) < st(y) を導かない。 x, y がともに有限超準実数ならば st(x + y) = st(x) + st(y) および st(xy) = st(x)st(y) が成り立つ。 x が有限かつ無限小でないならば st(1/x) = 1/st(x) が成り立つ。 x が標準実数となるための必要十分条件は st(x) = x を満たすことである。 函数 st は、この有限超実数体 F 上の順序位相（英語版）に関して連続である（実は st は局所定数函数になる）。

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