正規直行基底の見易い表式とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/20 09:58 UTC 版)

「カー解」の記事における「正規直行基底の見易い表式」の解説

以下では、カー計量のボイヤー・リンキスト座標による表現でよく用いられる3つの正規直行基底 { e 0 , e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle \{e^{0},e^{1},e^{2},e^{3}\}} を与える。つまり、計量は d s 2 = − ( e 0 ) 2 + ( e 1 ) 2 + ( e 2 ) 2 + ( e 3 ) 2 {\displaystyle ds^{2}=-(e^{0})^{2}+(e^{1})^{2}+(e^{2})^{2}+(e^{3})^{2}} のように表される。また、その双対ベクトル { X 0 , X 1 , X 2 , X 3 } {\displaystyle \{X_{0},X_{1},X_{2},X_{3}\}} は e μ ( X ν ) = δ ν μ {\displaystyle e^{\mu }(X_{\nu })=\delta _{\nu }^{\mu }} により定義される。 d t {\displaystyle dt} について平方完成された表式 d s 2 = − G Σ ( d t + A G a sin 2 ⁡ θ d ϕ ) 2 + Σ ( d r 2 Δ + d θ 2 + Δ G sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}=-{\frac {G}{\Sigma }}\left(dt+{\frac {A}{G}}a\sin ^{2}\theta d\phi \right)^{2}+\Sigma \left({\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}+{\frac {\Delta }{G}}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\end{aligned}}} ここで、 Σ {\displaystyle \Sigma } や Δ {\displaystyle \Delta } は上で定義されているものと同じ、 A {\displaystyle A} および G {\displaystyle G} は A = 2 m r , G = Δ − a 2 sin 2 ⁡ θ {\displaystyle A=2mr\,,\quad G=\Delta -a^{2}\sin ^{2}\theta \,} で定義された関数である。この表式において、 Δ ( r ) {\displaystyle \Delta (r)} 、 A ( r ) {\displaystyle A(r)} および Σ ( r , θ ) {\displaystyle \Sigma (r,\theta )} を未知関数としたものをアインシュタイン方程式の厳密解の仮定として利用することがある。また、カー・ブラックホール時空に隠れている S L ( 2 , R ) × S L ( 2 , R ) {\displaystyle SL(2,R)\times SL(2,R)} 対称性を顕わに見える形で取り出してくる場合にも、この表式が利用される。これは、カー・ブラックホール時空の「差し引かれた幾何（Subtracted Geometry）」と言われる。 Δ ( r ) {\displaystyle \Delta (r)} 、 A ( r ) {\displaystyle A(r)} および Σ ( r , θ ) {\displaystyle \Sigma (r,\theta )} を Δ = ( r − r + ) ( r − r − ) , A = c 1 r + c 2 , Σ = { c 1 2 ( r + + r − ) + 2 c 1 c 2 } r + c 2 2 − c 1 2 ( r + r − − a 2 sin 2 ⁡ θ ) {\displaystyle \Delta =(r-r_{+})(r-r_{-})\,,\quad A=c_{1}r+c_{2}\,,\quad \Sigma =\{c_{1}^{2}(r_{+}+r_{-})+2c_{1}c_{2}\}r+c_{2}^{2}-c_{1}^{2}(r_{+}r_{-}-a^{2}\sin ^{2}\theta )\,} で置き換えると、計量は A d S 3 × ( 1 / 4 ) S 2 {\displaystyle AdS_{3}\times (1/4)S^{2}} 時空上の標準計量のあるキリングベクトル方向へのカルツァ・クライン還元になっている。ここで、 r + {\displaystyle r_{+}} 、 r − {\displaystyle r_{-}} 、 c 1 {\displaystyle c_{1}} および c 2 {\displaystyle c_{2}} は定数である。 他に、事象の地平面が Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} の光的超曲面で与えられることから、この超曲面上の誘導計量が見やすい。 d ϕ {\displaystyle d\phi } について平方完成された表式 d s 2 = Σ ( − Δ P d t 2 + d r 2 Δ + d θ 2 ) + P sin 2 ⁡ θ Σ ( d ϕ − 2 a M r P d t ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}=\Sigma \left(-{\frac {\Delta }{P}}dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}\right)+{\frac {P\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\left(d\phi -{\frac {2aMr}{P}}dt\right)^{2}\end{aligned}}} ここで、 Σ {\displaystyle \Sigma } や Δ {\displaystyle \Delta } は上で定義されているものと同じ、 P {\displaystyle P} は P = ( r 2 + a 2 ) Σ + 2 a 2 M r sin 2 ⁡ θ {\displaystyle P=(r^{2}+a^{2})\Sigma +2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta \,} で定義された関数である。この表式は、近地平面極限（Near Horizon Limit）を取るときに利用される。 その他の表式 d s 2 = − Δ Σ ( d t − a sin 2 ⁡ θ d ϕ ) 2 + Σ Δ d r 2 + Σ d θ 2 + sin 2 ⁡ θ Σ ( a d t − ( r 2 + a 2 ) d ϕ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left(dt-a\sin ^{2}\theta d\phi \right)^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\left(adt-(r^{2}+a^{2})d\phi \right)^{2}\end{aligned}}} ここで、 Σ {\displaystyle \Sigma } や Δ {\displaystyle \Delta } は上で定義されているものと同じである。この表式では、測地線方程式の変数分離性が見やすい。 正規直交基底は e 0 = Δ Σ ( d t − a sin 2 ⁡ θ d ϕ ) , e 1 = Σ Δ d r , e 2 = Σ d θ , e 3 = sin 2 ⁡ θ Σ ( a d t − ( r 2 + a 2 ) d ϕ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&e^{0}={\sqrt {\frac {\Delta }{\Sigma }}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta d\phi \right)\,,\quad e^{1}={\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}dr\,,\quad e^{2}={\sqrt {\Sigma }}d\theta \,,\\&e^{3}={\sqrt {\frac {\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}}\left(adt-(r^{2}+a^{2})d\phi \right)\end{aligned}}} 双対ベクトルは X 0 = 1 Δ Σ ( ( r 2 + a 2 ) ∂ t + a ∂ ϕ ) , X 1 = Δ Σ ∂ r , X 2 = 1 Σ ∂ θ , X 3 = − 1 Σ sin 2 ⁡ θ ( a sin 2 ⁡ θ ∂ t + ∂ ϕ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&X_{0}={\frac {1}{\sqrt {\Delta \Sigma }}}\left((r^{2}+a^{2})\partial _{t}+a\partial _{\phi }\right)\,,\quad X_{1}={\sqrt {\frac {\Delta }{\Sigma }}}\partial _{r}\,,\quad X_{2}={\frac {1}{\sqrt {\Sigma }}}\partial _{\theta }\,,\\&X_{3}=-{\frac {1}{\sqrt {\Sigma \sin ^{2}\theta }}}\left(a\sin ^{2}\theta \partial _{t}+\partial _{\phi }\right)\end{aligned}}}

※この「正規直行基底の見易い表式」の解説は、「カー解」の解説の一部です。
「正規直行基底の見易い表式」を含む「カー解」の記事については、「カー解」の概要を参照ください。