幾何学とは？ わかりやすく解説

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「作用素」の記事における「幾何学」の解説

詳細は「一般線型群」および「等距変換群（英語版）」を参照 幾何学において、ベクトル空間に更なる構造を入れたものがしばしば調べられる。そのような空間からそれ自身への全単射な写像となる作用素は、合成に関して自然に群を成し、その空間を調べるのに非常に有効である。 例えば、ベクトル空間の構造を保つ全単射な作用素は可逆線型作用素であり、その全体は合成に関して一般線型群となる。この群は作用素の（点ごとの）和に関してベクトル空間とはならない（例えば id および −id はともに可逆な作用素だがそれらの和 0 はそうではない）。 また例えば、ユークリッド距離を保つ作用素の全体は等距変換群（英語版）を成し、その原点を保つ作用素全体の成す部分群は直交群として知られる。直交群に属する作用素でベクトルの組の向きを保つものは特殊直交群（または回転群）と呼ばれる群を成す。

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「極集合」の記事における「幾何学」の解説

幾何学において、極集合は点と平面の間の双対性を意味することもある。特に、ある点 x 0 {\displaystyle x_{0}} の極集合は、 ⟨ x , x 0 ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x,x_{0}\rangle =0} を満たす点 x {\displaystyle x} の集合で与えられ、それは極超平面（polar hyperplane）であり、超平面に対する双対関係はその極を与える。

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「エジプト数学」の記事における「幾何学」の解説

エジプト数学の幾何学は、円の面積の近似値、角錐台の体積を求める公式、半球の表面積を求める方式などの業績を残した。角錐についての公式は、ピラミッドの建設に用いられている。モスクワ・パピルスには、切頭体の体積を求める最古の例の1つがある。

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「インドの数学」の記事における「幾何学」の解説

シュルバ・スートラに書かれているような煉瓦を用いた祭壇の建築法が、インドの幾何学の起源になったとされる。シュルバ・スートラの時代にはピタゴラスの定理が知られており、平方根を求める方式が発達していた。のちに天文学の一分野として三角法や球面三角法を発展させ、バースカラ2世が体系化した。sinをジバア、cosをコチジバアなどと呼んだ。

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「バビロニア数学」の記事における「幾何学」の解説

バビロン第1王朝時代の粘土板には、現在で言うところのピタゴラスの定理を研究した記録がある。スーサで発見された粘土板には、ピタゴラスの定理を用いた最も古い例が見られる。また、イラクのテル・ハーマルで発見された紀元前2000年ほど前の粘土板からは、のちにエウクレイデスが触れた相似三角形について理解していたことがわかる。また、円の面積を内接する正12角形と外接する正12角形とで近似した。

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「左右」の記事における「幾何学」の解説

左右は幾何学からは定義できない。互いに直角に交わる3つの軸は、任意に前後の軸、上下の軸、左右の軸と定められる。前（または後）および上（または下）が定まったときに残る方が左右の軸であるが、どちらが右でどちらが左であるかは、右と左をそれぞれ図で示したり、何か実物の例を使うことでしか説明できない。 なお、これは幾何学において左右が特別な訳ではない。たとえば直交する3つの軸に、左右、上下をこの順に定めても、どちらが前でどちらが後かは、純粋に幾何学的には任意性が残る。 たとえばすべての辺の長さの異なる不等辺三角形は三角形の頂点ABCを右回りに振った場合と左回りに振った場合の二通りが書け、両者は同一平面上ではどのようにしても重ね合わすことができない。しかし、ユークリッド幾何学では三辺の長さが等しい三角形は合同であるとして、幾何学的にはこの二つを区別しない。 このように、平面図形では形としては同じでも、平面上ではどのように移動しても絶対に重ね合わせられない形が存在し、それはいわゆる鏡像である。ただし、我々の空間の中ではこのような図形は持ち上げて裏返せば重ね合わせられるので、これらを合同と見なす。それに対して、空間図形の場合、我々の空間の中ではこれを引っ繰り返すことはできないから、絶対に重ね合わせられず、これらを区別せざるを得ない。それに対する名に右と左を使う場合もある。これについては鏡像の節も参照のこと。

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「区間演算」の記事における「幾何学」の解説

3次元多様体の双曲性を判定するために区間演算が活用されている。

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「オイラーの式」の記事における「幾何学」の解説

オイラーの多面体定理 - 多面体を参照。

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「超フィルター」の記事における「幾何学」の解説

I を無限集合、U を I 上の自由な超フィルター、(Xi , di , bi)i∈I を I で添字付けられた基点付き距離空間の族とする。このとき超積 ∏i∈I Xi/U 上に同値関係 x ∼ y ⇔ st(d*(x, y)) = 0（ただし d* はもとの距離から定まる超積上の（超実数に値を持つ）距離、st は超実数の標準成分） を定義したとき lim U X i = { x ∈ ∏ i ∈ I X i / U : st ⁡ ( d ∗ ( x , b ∞ ) ) < ∞ } / ∼ {\displaystyle \lim _{U}X_{i}=\{x\in \prod _{i\in I}X_{i}/U:\operatorname {st} (d^{\ast }(x,b_{\infty }))<\infty \}/\sim } を (Xi, di, bi)i∈I の U による超極限（英語版）（英: ultralimit）という（ただし、b∞ = (bi)i∈I であり、st ∘ d* を距離とする）。 特に基点付き距離空間 (X, d, b) に対し、(Xn, dn, bn) = (X, d/n, b)（ただし添字集合 I を自然数全体 N とする）としたとき、 lim U X n {\textstyle \lim _{U}X_{n}} を (X, d, b) の漸近錐（英語版）（英: asymptotic cone）という。 基本性質 距離空間の超極限は完備距離空間 弧長距離空間（英: length metric space）の超極限は弧長距離空間 測地距離空間の超極限は測地距離空間

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「サン・ジョッベ祭壇画」の記事における「幾何学」の解説

ルネサンス期に三角形は神の重要な象徴であった。 15世紀後半の多くの芸術家は作品に三角形構図を取り入れた。これは三角形を神と結びつけ、しばしば聖三位一体を表す一種の図解となった。本作の非対称性は反対側の人物とのコントラストを生み出し、三角形はこれらのさまざまな人物群で見出すことができる。 これらの人物は、中央の垂直線を挟んで反対の対称性を成している。年老いた聖ヨブは若々しい聖セバスティアヌスの向かいに、そして野生の洗礼者ヨハネはおとなしく、勤勉な聖ドミニコの向かいにおり、聖ルイの豪奢な服装は聖フランチェスコの無地の衣服の対極である。

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「幾何平均」の記事における「幾何学」の解説

直角三角形の斜辺を底辺としたときの高さは、直角な角から斜辺に描いた垂線で斜辺を分割したときのそれぞれの線分の幾何平均に等しい。 楕円において短半径は焦点から楕円の周上の点との距離の最大値と最小値の幾何平均である。一方、長半径は中心点といずれかの焦点との距離と中心点と準線との距離の幾何平均である。

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「レオンハルト・オイラー」の記事における「幾何学」の解説

幾何学においては、位相幾何学のはしりとなったオイラーの多面体定理（ただしオイラーは証明を与えていない）や「ケーニヒスベルクの橋の問題」が特に有名である。特性類の一つであるオイラー類は本質的にこのオイラーの多面体定理によって特徴付けられるものである。「ケーニヒスベルクの橋の問題」は一種の一筆書き問題であるが、オイラーはこれに取り組んで一筆書きが可能になるための必要十分条件を求めた。これはグラフ理論の起源となり、今日では一筆書き可能なグラフはオイラーグラフと呼ばれる。解析幾何学でも古代ギリシャのアポロニウスによる円錐曲線の理論を解析幾何学的手法によって近代化をはかっている。

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「ジョン・ウォリス」の記事における「幾何学」の解説

ウォリスはピタゴラスの定理を相似な三角形を使って証明したとされている。しかし、アラビアの数学者サービト・イブン＝クッラ（901年没）が6世紀前にピタゴラスの定理のあらゆる三角形への一般化を行っていた。ウォリスがサービトの業績を知っていた可能性は高い。ウォリスはナスィールッディーン・トゥースィーの息子 Sadr al-Tusi の業績、特に平行線公準も知っていた。ウォリスは平行線公準についても後に考察を残している。

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「等質空間」の記事における「幾何学」の解説

エルランゲン・プログラムの観点から、X の幾何学において、「すべての点は同じである」と理解することができる。これは19世紀中頃のリーマン幾何学より前に提案された本質的にすべての幾何学について正しかった。 したがって、例えば、ユークリッド空間、アフィン空間、射影空間はすべて自然にそれらのそれぞれの対称変換群（英語版）の等質空間である。同じことは双曲空間（英語版）のような定曲率の非ユークリッド幾何学のモデルについても正しい。 さらなる古典的な例は3次元の射影空間の直線のなす空間（同じことであるが4次元ベクトル空間の2次元部分空間のなす空間）である。GL4 がそれらに推移的に作用することを示すのは簡単な線型代数である。line co-ordinates によってそれらを径数付けできる： これらは列が部分空間の2つの基底ベクトルである 4 × 2 行列の 2 × 2 小行列式（英語版）である。得られる等質空間の幾何学はユリウス・プリュッカー（英語版）の直線幾何学（英語版）である。

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