どう‐ち【同値】
同値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/22 05:29 UTC 版)
同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if（～のとき、かつそのときに限る）」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。
真理値表
| 命題 P | 命題 Q | P ⇔ Q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 偽 | 偽 |
| 偽 | 真 | 偽 |
| 偽 | 偽 | 真 |
性質
基本的な性質
同値の基本的な性質は以下の通り。
（
二つの条件 p 、q に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 p は q である為の十分条件である 」 あるいは 「 q は p である為の必要条件である 」 という。
また、「 p は q である為の十分条件であり、q は p である為の十分条件である 」 というとき、「 p は q である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 p と q とは同値である 」 という。
例 1
ある数が4の倍数である為には、その数は少なくとも偶数である必要がある。つまり、偶数であることは、4の倍数である為の必要条件である。ただし、偶数であっても、必ずしも4の倍数であるとは限らない。
また、ある数が4の倍数である為には、その数が8の倍数であれば十分である。つまり、8の倍数であることは、4の倍数である為の十分条件である。ただし、その数が8の倍数でなくとも、必ずしも4の倍数でないとは限らない。
他方、ある数が2の倍数である為には、その数は少なくとも偶数でなければならない。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の必要条件である。また、その数が偶数であれば、その数は必ず2の倍数である。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の十分条件である。すなわち、偶数であることは、2の倍数である為の必要十分条件であり、両者は同値である。
例 2
自然数変数 n についての条件 p(n), q(n) を次のように定める。
- p(n)： n > 10
- q(n)： 2n > 20
そのとき、p(n) は q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n > 10 は 2n > 20 である為の必要十分条件である。
例 3
実数変数 x についての条件 p(x), q(x) を次のように定める。
- p(x)： x > 0
- q(x)： x2 > 0
そのとき、p(x) は q(x) である為の十分条件である。しかし、−1 は q(x) を満たすが ｐ(x) を満たさないので、 「q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす」 とはいえない。よって、q(x) は p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x) は q(x) である為の必要十分条件ではない。
例 4
￢、⇔ を論理演算とし、命題変数 A 、B についての条件 p(A, B), q(A, B) を次のように定める。 ( ￢ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。A 、B は { 真、偽 } の元の変数である。)
- p(A, B)： ￢( A ⇔B ) = 真
- q(A, B)： ( ￢A )⇔B = 真
そのとき、p(A, B) は q(A, B) である為の必要十分条件である。すなわち、「￢( A ⇔B ) = 真」 は 「( ￢A )⇔B = 真」 である為の必要十分条件である。
関連項目
脚注
外部リンク
- Necessary and Sufficient Conditions - スタンフォード哲学百科事典「必要条件と十分条件」の項目。
- Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Iff". mathworld.wolfram.com (英語).
同値出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 04:07 UTC 版) 同値を表す結合子 ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } は ϕ ↔ χ {\displaystyle \phi \leftrightarrow \chi } standing for ( ϕ → χ ) ∧ ( χ → ϕ ) {\displaystyle (\phi \to \chi )\land (\chi \to \phi )} の省略形として導入できる。代わりに次の公理を追加してもよい： IFF-1: ( ϕ ↔ χ ) → ( ϕ → χ ) {\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to (\phi \to \chi )} IFF-2: ( ϕ ↔ χ ) → ( χ → ϕ ) {\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to (\chi \to \phi )} IFF-3: ( ϕ → χ ) → ( ( χ → ϕ ) → ( ϕ ↔ χ ) ) {\displaystyle (\phi \to \chi )\to ((\chi \to \phi )\to (\phi \leftrightarrow \chi ))} IFF-1とIFF-2は一つの公理 ( ϕ ↔ χ ) → ( ( ϕ → χ ) ∧ ( χ → ϕ ) ) {\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to ((\phi \to \chi )\land (\chi \to \phi ))} に結合できる。 ※この「同値」の解説は、「直観主義論理」の解説の一部です。
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