ベクトル四重積とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:30 UTC 版)

「四重積 (ベクトル解析)」の記事における「ベクトル四重積」の解説

ベクトル四重積は2つのクロス積のクロス積である。 ( a × b ) × ( c × d ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})} ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。 幾何学的には a, b で張られた面と c, d で張られた面の交線に平行なベクトルを表す。 ベクトル三重積の公式を使えば ( a × b ) × ( c × d ) = [ a , b , d ] c − [ a , b , c ] d = [ a , c , d ] b − [ b , c , d ] a {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}-[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}\\&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {b}}-[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {a}}\\\end{aligned}}} が得られる。ただし [a, b, c] = a・(b×c) である。 2つの異なる右辺が導かれるのは左辺を X×(c×d) とみて展開したか (a×b)×Y とみて展開したかで異なるからである。幾何学的には、交線はそれぞれの平面に含まれるので、点を表すパラメータ表示が2通りあることを意味する。 2つの右辺が等しいことより恒等式 [ a , b , c ] r = [ r , b , c ] a + [ a , r , c ] b + [ a , b , r ] c {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {r}}=[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}]{\boldsymbol {c}}} が得られる。 これは [a, b, c]≠0 の場合、基底 {a, b, c} (正規直交基底とは限らない)における r の成分表示が ( [ r , b , c ] [ a , b , c ] , [ a , r , c ] [ a , b , c ] , [ a , b , r ] [ a , b , c ] ) {\displaystyle \left({[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]}\right)} であること示す。 あるいは、(a b c)を縦ベクトルを並べてできる3×3行列としたときの連立方程式 ( a   b   c ) ( x y z ) = r {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}}){\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\boldsymbol {r}}} に対するクラメルの公式 ( x y z ) = 1 det ( a   b   c ) ( det ( r   b   c ) det ( a   r   c ) det ( a   b   r ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={1 \over \det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})}{\begin{pmatrix}\det({\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {r}})\end{pmatrix}}} と同じである。 なお、 ( a × b ) × ( a × c ) = [ a , b , c ] a {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {c}})=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}} が先の公式の特別な場合として導かれるが、この等式は以下のように導くこともできる。 a と b で作られる平面と、 a と c で作られる平面との交線は a に平行であることは自明である。また、a と b と c が一次従属 ([a, b, c ]=0) すなわち共面であるとき、2つの平面は平行なので左辺は0になる。このことから、右辺は [a, b, c ]a の定数倍であることが導かれる。右手系の正規直交基底を代入することで比例定数が1であることがわかるので、等式が得られる。

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