トポロジーとは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/09 02:12 UTC 版)

「ぬるぺた」の記事における「トポロジー」の解説

位相幾何学。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 23:33 UTC 版)

「超準解析」の記事における「トポロジー」の解説

位相空間論への最初の包括的な応用はロビンソンによる前掲書において与えられた。彼は距離空間および一般の位相空間における基本的な概念の超準的な特徴付けを与え、それを標準的な定理の証明に応用した。とりわけ次に示すコンパクト性の超準的特徴付けは、位相空間論に限らず、超準解析の応用に於いて広く用いられている。とくに、超準解析による最初期の成果であるBernstein-Robinsonの定理は、この特徴付けを利用している。 定理. 位相空間 X {\displaystyle X} がコンパクトであるのは ∗ X {\displaystyle {}^{\ast }X} の全ての点が近標準的（nearstandard）であるときである。ここで超準点 x ∈ ∗ X {\displaystyle x\in {}^{\ast }X} が近標準的とは、ある標準点 y ∈ X {\displaystyle y\in X} に対して x ∈ μ X ( y ) := ⋂ { ∗ U ∣ y ∈ U : open } {\displaystyle x\in \mu _{X}(y):=\bigcap \{{}^{\ast }U\mid y\in U\colon {\mbox{open}}\}} が成り立つときを言う。 位相空間論へのさらなる応用はStroyan and Luxemburgに見られる。 代数トポロジーへの応用も存在する。M. C. McCordは超準解析に基づいて位相空間の新しいホモロジー群を構成した。このホモロジー群はホモロジー完全系列が常に存在する点で、チェックホモロジー（英語版）とは異なる。実際、チェックホモロジーはコンパクトハウスドルフ空間に対してさえ完全系列を持つとは限らない。一方で、コンパクト性の仮定のもとではチェックホモロジーと同型となることがGaravagliaによって証明されている。Garavagliaは同じ論文において、チェックホモロジーが全てのコンパクトハウスドルフ空間について完全系列を持つことと、係数群が等式コンパクトであることとが同値であることを証明している。このことは、係数群 G {\displaystyle G} が等式コンパクトのとき、 G {\displaystyle G} を固定する全射準同型 ∗ G → G {\displaystyle {}^{\ast }G\to G} が存在することと関係している。 形状理論（英語版）への応用も存在する。形状理論は局所的に複雑な空間の形状を適切に扱うためのフレームワークを提供するものである。例えばワルシャワの円（英語版）は殆ど円のような形状をしているのだが、その特異ホモトピーは自明である。連続なループが原点を通るためには、 sin(1/x) によって作られる無限に長い経路を辿る必要があるが、それは不可能だからである。Karol Borsukの形状理論では、コンパクト距離空間 X {\displaystyle X} が与えられたら、それを適当な大きな空間（ヒルベルト立方体）に埋め込んだ上で、 X {\displaystyle X} の開近傍たちを考える。すなわち X {\displaystyle X} を膨らませた空間たちを考える。そこに適当なホモトピーの概念を導入し、そのホモトピー同値類を X {\displaystyle X} の形状と呼ぶ。Sibe MardešićとJack Segalのアプローチでは、位相空間 X {\displaystyle X} を近似する（適当なよい性質を備えた）空間の射影系を考え、射影系とその間の射をもとにして、シェイプ圏と呼ばれる圏を作る。どちらのアプローチも、所与の空間を少し膨らませた空間のホモトピーを見る、というアイデアでは共通している。Frank Wattenbergは超準解析に基づく位相空間の形状理論を与えた。このアプローチでは、まず空間を適当な大きな空間に埋め込み、それらを超準化した上で、もとの空間を無限小だけ膨らませ、その超準的なホモトピー同値類を考える。これはBorsukのアプローチと類似である。

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「ローレンツ群」の記事における「トポロジー」の解説

二重被覆 SU(2) → SO(3) の左辺と右辺の群はそれぞれ次の二重被覆の左辺と右辺の群の変位レトラクトである。 SL(2, C) → SO+(1, 3) ここで、等質空間 SO+(1, 3)/SO(3) は三次元双曲空間（英語版） H3 と位相同型であるから、制限ローレンツ群はファイバー SO(3) および底 H3 を持つ主ファイバー束であることが示されたことになる。 後者は R3 と位相同型であるから、SO(3) が三次元実射影空間（英語版） RP3 と同型であるのに対して、制限ローレンツ群は RP3 と R3 の積に「局所的に」同型であるといえる。この底空間は可縮であるから、これは大域位相同型に拡張可能である。

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「セール・スワンの定理」の記事における「トポロジー」の解説

X をコンパクトハウスドルフ空間とし、C(X) を X 上の連続実数値関数の環とする。上の結果とアナロガスに、X 上の実ベクトル束の圏は C(X) 上の有限生成射影加群の圏に同値である。同じ結果が、「複素数値」を「実数値」で、「複素ベクトル束」を「実ベクトル束」で置き換えれば成り立つが、有理数全体のような完全不連結体で体を置き換えると成り立たない。 詳しくは、Vec(X) を X 上の複素ベクトル束の圏とし、ProjMod(C(X)) をC*-環 C(X) 上の有限生成射影加群の圏とする。X 上の各複素ベクトル束 E を断面の C(X)-加群 Γ(X,E) に送る関手 Γ : Vec(X)→ProjMod(C(X)) が存在する。スワン (Swan) の定理は関手 Γ が圏同値であることを主張する。

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「Closネットワーク」の記事における「トポロジー」の解説

Closネットワークには3つのステージがある。すなわち、ingressステージ、middleステージ、egressステージの3つである。各ステージは、複数のクロスバースイッチから構成され（下の図を参照）、それらはしばしば単にクロスバー（crossbars）と呼ばれる。ingressのクロスバースイッチに入力される呼び出し（call）は、それぞれ任意の利用可能なmiddleステージのクロスバースイッチを経由して、対応するegressステージのクロスバースイッチにルーティングされる。ある新しい呼び出しに対して利用できるmiddleステージのクロスバーは、middleステージのスイッチからegressステージのスイッチに接続されたリンクがフリーである場合のみである。 Closネットワークは3つの整数 n , m , r {\displaystyle n,m,r} によって定義される。 n {\displaystyle n} は、 r {\displaystyle r} 個あるingressステージの各クロスバースイッチへの入力の数を表す。各ingressステージのクロスバースイッチには m {\displaystyle m} 個の出口があり、middleステージには m {\displaystyle m} 個のクロスバースイッチがある。ingressステージの各スイッチとmiddleステージの各スイッチの間の接続は、ちょうど1本である。egressステージには r {\displaystyle r} 個のスイッチがあり、それぞれのスイッチは m {\displaystyle m} 個の入力と n {\displaystyle n} 個の出力を持っている。middleステージの各スイッチは、egressステージの各スイッチとちょうど1本で接続されている。したがって、ingressステージには r {\displaystyle r} 個のスイッチがあり、そのそれぞれは n {\displaystyle n} 個の入力と m {\displaystyle m} 個の出力を持つ。middleステージには m {\displaystyle m} 個のスイッチがあり、そのスイッチのそれぞれは、 r {\displaystyle r} 個の入力と r {\displaystyle r} 個の出力を持つ。egressステージには r {\displaystyle r} 個のスイッチがあり、そのそれぞれは m {\displaystyle m} 個の入力と n {\displaystyle n} 個の出力を持つ。

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