セゲーの極限公式とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/01 04:21 UTC 版)

「フレドホルム行列式」の記事における「セゲーの極限公式」の解説

「セゲーの極限定理」も参照 H = L2 (S1) とし、P をハーディ空間 H2 (S1) の上への直交射影とする。 f がその円板上の滑らかな関数であるとき、対応する H 上の乗算作用素を m(f) と表すことにする。 交換子 Pm(f) - m(f)P はトレースクラスである。 T(f) を、 T ( f ) = P m ( f ) P {\displaystyle T(f)=Pm(f)P} のように定義される H2 (S1) 上のテープリッツ作用素（英語版）とする。このとき、加法的な交換子 T ( f ) T ( g ) − T ( g ) T ( f ) {\displaystyle T(f)T(g)-T(g)T(f)} がトレースクラスであるための十分条件は、f と g が滑らかであることである。 ベルガーとショウは、次の等式を示した： t r ( T ( f ) T ( g ) − T ( g ) T ( f ) ) = 1 2 π i ∫ 0 2 π f d g . {\displaystyle {\rm {tr}}(T(f)T(g)-T(g)T(f))={1 \over 2\pi i}\int _{0}^{2\pi }fdg.} f と g が滑らかであるなら、 T ( e f + g ) T ( e − f ) T ( e − g ) {\displaystyle T(e^{f+g})T(e^{-f})T(e^{-g})} は G に含まれる。 ハロルド・ウィドム（英語版）は、ピンカス＝ヘルトン＝ハウの結果を使って、次の等式を示した： d e t T ( e f ) T ( e − f ) = exp ⁡ ∑ n > 0 n a n a − n . {\displaystyle {\rm {det}}\,T(e^{f})T(e^{-f})=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n}.} 但し f ( z ) = ∑ a n z n {\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}} とする。彼はこの等式を使って、セゲー・ガーボルの有名な極限公式 lim N → ∞ d e t P N m ( e f ) P N = exp ⁡ ∑ n > 0 n a n a − n , {\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }{\rm {det}}P_{N}m(e^{f})P_{N}=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},} の新たな証明方法を考案した。ここで、PN は 1, z, ..., zN によって張られる H の部分空間の上への射影とし、a0 = 0 とする。 セゲーの極限公式は、1951年、イジング模型の自発磁化（英語版）の計算に関するラルス・オンサーガーと楊振寧の研究で生じた問題に対する答えとして、証明された。ウィドムの公式は、セゲーの極限公式をより早く導くものであり、共形場理論におけるボース粒子とフェルミ粒子の間の双対性と恒等的なものである。円板の弧の上でサポートされる関数に対する、セゲーの極限公式の特殊な場合の証明も、ウィドウによるものである；この結果は、確率ユニタリ行列[要リンク修正]の固有値分布に関する確率論的結果を得るために応用されている。

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