スケール不変性とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:51 UTC 版)

「冪乗則」の記事における「スケール不変性」の解説

冪乗則を非常に興味深いものとする主な性質は、スケール不変性にある。 f ( x ) = a x k {\displaystyle f(x)=ax^{k}} という関係、あるいはいかなる同次多項式であっても、定数因子によって独立変数 x {\displaystyle x} のスケールを変化させることは、関数それ自体のスケーリングの比例に帰結するだけだ。 f ( c x ) = a ( c x ) k = c k f ( x ) ∝ f ( x ) {\displaystyle f(cx)=a(cx)^{k}=c^{k}f(x)\propto f(x)} この式は、定数によるスケーリングとは、単に元の冪乗則関係に定数、 c k {\displaystyle c^{k}} を乗じることであることを示す。このように、特定のスケーリング指数を持つすべての冪乗則は、定数倍と同等となる。なぜならば、ひとつひとつが他の要因のスケールされた版であるからだ。このふるまいは、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} と x {\displaystyle x} の両対数をとったときに、線型関係を産むことになる。こうした対数-対数プロットにおける直線関係は、よく冪乗則のsignatureと呼ばれる。しかし、実際のデータにおいて、こうした直線関係は必要条件であっても、冪乗則関係にデータが従っているとする十分条件ではないことに注意すべきだ。事実、こうしたsignatureを示すふるまいを模倣するデータの有限な量を生成する方法は数多く存在する。本当の冪乗則ではない、単なる模倣のデータでは漸近的な限界がある。こうして、冪乗則モデルを正確にフィッティングし、正当性を立証することは、統計学的な研究の活発な領域となる。

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