よくある例とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/14 02:00 UTC 版)

「群の表示」の記事における「よくある例」の解説

⟨S | ∅⟩ は S 上の自由群である。自由群が「自由」であるというのは、この場合基本関係が（したがって任意の関係が）無いことを意味する。 X = {x} のとき ⟨X | ∅⟩ は無限巡回群、すなわち整数全体のなす加法群 Z と同型である。 自然数 n に対して X = {x}, R = {xn} とすれば ⟨X | R⟩ は位数 n の巡回群 Cn = Z/nZ と同型である。これを ⟨x | xn = 1⟩ と書くこともある。 R は S の元の交換子全体の成す集合とすると、⟨S | R⟩ は S 上の自由アーベル群である。 自然数 n に対して X = {s1, …, sn−1}, R = {si2 | 1 ≤ i < n} ∪ {(sisi+1)3 | 1 ≤ i < n − 1} ∪ {(sisj)2 | |i − j|> 1} とすれば ⟨X | R⟩ は n 次対称群 Sn と同型である 自然数 n に対して X = {s1, …, sn−1}, R = {(sisi+1)3 | 1 ≤ i < n − 1} ∪ {(sisj)2 | |i − j|> 1} とすれば ⟨X | R⟩ は n-次組み紐群 Bn に同型 素数 p に対して X = {x1, x2, x3, …}, R = {x1p, x2px1−1, x3px2−1, …} とすれば ⟨X | Y⟩ はプリューファー群 Z(p∞) と同型である。これを ⟨x1, x2, x3, … | x1p = 1, x2p = x1, x3p = x2, …⟩ と書くこともある 以下の表は、よく調べられている群に対する表示の例を一覧したものである。各々の場合においてこれとは異なる表示の取り方が複数可能であり、以下に挙げたものも可能な最も効果的な表示とは限らないことに注意すべきである。 群表示補足位数 2n の二面体群 Dn ⟨ r , f ∣ r n , f 2 , ( r f ) 2 ⟩ {\displaystyle \langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle } ここで r は回転、f は鏡映を表す 無限二面体群（英語版） D∞ ⟨ r , f ∣ f 2 , ( r f ) 2 ⟩ {\displaystyle \langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle } 二重巡回群 Dicn ⟨ r , f ∣ r 2 n , r n = f 2 , f r f − 1 = r − 1 ⟩ {\displaystyle \langle r,f\mid r^{2n},r^{n}=f^{2},frf^{-1}{=}r^{-1}\rangle } r, f は上と同様。四元数群は n = 2 の場合 Z × Z ⟨ x , y ∣ x y = y x ⟩ {\displaystyle \langle x,y\mid xy=yx\rangle } Z/mZ × Z/nZ ⟨ x , y ∣ x m , y n , x y = y x ⟩ {\displaystyle \langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle } 正四面体群（英語版） T ≅ A4 ⟨ s , t ∣ s 2 , t 3 , ( s t ) 3 ⟩ {\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle } 正八面体群（英語版） O ≅ S4 ⟨ s , t ∣ s 2 , t 3 , ( s t ) 4 ⟩ {\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle } 正十二面体群（英語版） I ≅ A5 ⟨ s , t ∣ s 2 , t 3 , ( s t ) 5 ⟩ {\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle } 四元数群 Q8 ⟨ i , j ∣ j i j = i , i j i = j ⟩ {\displaystyle \langle i,j\mid jij=i,iji=j\rangle } 別の表示については Dicn の欄を参照 SL(2, Z) ⟨ a , b ∣ a b a = b a b , ( a b a ) 4 ⟩ {\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle } 位相的には a, b はトーラス上のデーンひねり（英語版） GL(2, Z) ⟨ a , b , j : a b a = b a b , ( a b a ) 4 , j 2 , ( j a ) 2 , ( j b ) 2 ⟩ {\displaystyle {\Bigl \langle }a,b,j:{aba=bab,(aba)^{4}, \atop j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}}{\Bigr \rangle }} SL(2, Z) の非自明な Z/2Z-拡大 モジュラー群 PSL(2, Z) ⟨ a , b ∣ a 2 , b 3 ⟩ {\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle } PSL(2, Z) は二つの巡回群 Z/2Z と Z/3Z の自由積に同型 ハイゼンベルク群 ⟨ x , y , z : z = x y x − 1 y − 1 , x z = z x , y z = z y ⟩ {\displaystyle {\Bigl \langle }x,y,z:{z=xyx^{-1}y^{-1}, \atop xz=zx,yz=zy}{\Bigr \rangle }} バウムスラッグ–ソリター群（英語版） BS(m, n) ⟨ a , b ∣ a n = b a m b − 1 ⟩ {\displaystyle \langle a,b\mid a^{n}=ba^{m}b^{-1}\rangle } ティッツ群（英語版） ⟨ a , b : a 2 , b 3 , ( a b ) 13 , [ a , b ] 5 , [ a , b a b ] 4 , ( a b a b a b a b a b − 1 ) 6 ⟩ {\displaystyle {\Bigl \langle }a,b:{a^{2},b^{3},(ab)^{13},[a,b]^{5}, \atop [a,bab]^{4},(ababababab^{-1})^{6}}{\Bigr \rangle }} [a, b] は交換子 有限表示を持たない有限生成群の例として、無限巡回群 Z 同士の輪積 Z ≀ Z が挙げられる。

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