ฟังก์ชันประกอบ

ฟังก์ชันประกอบ (อังกฤษ: Function composition) ในทางคณิตศาสตร์ ตัวดำเนินการฟังก์ชันประกอบ $\circ$ จะนำฟังก์ชันสองตัว ฟังก์ชั่น $f$ และ $g$ มารวมกันและให้ฟังก์ชันใหม่ $h(x):=(g\circ f)(x)=g(f(x))$ นั่นคือ ฟังก์ชัน $g$ ถูกใช้งานหลังจากที่ใช้ฟังก์ชัน $f$ กับ $x$

การประกอบฟังก์ชันย้อนกลับ (Reverse Composition) บางครั้งเขียนแทนด้วย $f\mapsto g$ ซึ่งหมายถึงการทำงานในลำดับตรงกันข้าม โดยใช้ฟังก์ชัน $f$ ก่อนและ $g$ หลัง ในเชิงสัญชาตญาณ การประกอบย้อนกลับเป็นกระบวนการต่อเนื่องที่ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน $f$ จะถูกส่งเข้าเป็นอินพุตของฟังก์ชัน $g$ .

การประกอบฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของการประกอบความสัมพันธ์ (Composition of Relations) ซึ่งบางครั้งใช้สัญลักษณ์ $\circ$ ด้วยเช่นกัน ดังนั้นคุณสมบัติทั้งหมดของการประกอบความสัมพันธ์จึงสามารถนำมาใช้กับการประกอบฟังก์ชันได้ เช่น

ตัวอย่าง

การประกอบฟังก์ชันบนเซตจำกัด: ถ้า $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ และ $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ จะได้ว่า $g \circ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$ ตามที่แสดงในภาพ
การประกอบฟังก์ชันบนเซตอนันต์: ถ้า $f : R \to R$ (โดยที่ $R$ คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด) กำหนดโดย $f (x) = 2 x + 4$ และ $g : R \to R$ กำหนดโดย $g (x) = x 3$ , จะได้ว่า:
$(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4$ , และ

$(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3$ .
ถ้าความสูงของเครื่องบินในเวลา $t$ คือ $a (t)$ และความดันอากาศที่ความสูง $x$ คือ $p (x)$ ดังนั้นจะได้ว่า $(p \circ a)(t)$ คือความดันอากาศรอบเครื่องบินที่เวลา $t$

สมบัติ

การประกอบฟังก์ชันมี สมบัติการเปลี่ยนหมู่—ซึ่งเป็นสมบัติที่ได้รับจากการประกอบความสัมพันธ์ นั่นคือ ถ้า $f$ , $g$ และ $h$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถประกอบกันได้ จะมีความสัมพันธ์ดังนี้: $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ .^[1] เนื่องจากวงเล็บไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ในการประกอบฟังก์ชัน จึงมักจะละการเขียนวงเล็บออก

ในความหมายเชิงลึก การประกอบฟังก์ชัน $g \circ f$ จะมีความหมายได้ก็ต่อเมื่อโคโดเมน (codomain) ของ $f$ เท่ากับโดเมนของ $g$ ในความหมายที่กว้างขึ้น มันก็เพียงพอที่สิ่งแรกจะเป็นซับเซตที่ไม่เหมาะสมของสิ่งที่สอง นอกจากนี้ บ่อยครั้งมันสะดวกที่จะจำกัดโดเมนของ $f$ เช่นเดียวกับที่ $f$ ซึ่งสร้างค่าเฉพาะในโดเมนของ $g$ ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการรวมฟังก์ชัน $g \circ f$ ฟังก์ชัน $f : R \to (-\infty,+9]$ ที่กำหนดโดย $f (x) = 9 - x 2$ และ $g : [0,+\infty) \to R$ ที่กำหนดโดย $g(x)={\sqrt {x}}$ สามารถนิยามได้ในช่วง $[-3,+3]$

ฟังก์ชัน $g$ และ $f$ จะสามารถใช้สมบัติการสลับที่ได้ ถ้า $g \circ f = f \circ g$ ซึ่งหมายความว่าการรวมฟังก์ชันในลำดับใดก็ได้จะให้ผลลัพธ์เหมือนกัน การมีคุณสมบัติการสลับกันได้นั้นเป็นคุณสมบัติพิเศษที่เกิดขึ้นเฉพาะกับฟังก์ชันบางตัว และมักจะเกิดขึ้นในสถานการณ์พิเศษ ตัวอย่างเช่น $| x | + 3 = | x + 3 |$ จะเป็นจริงเมื่อ $x \geq 0$ โดยภาพที่แสดงยังมีตัวอย่างนอกจากนี้เช่นกัน

การรวมฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จะได้ฟังก์ชันที่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ ในทำนองเดียวกัน การรวมฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง จะได้ฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันครอบคลุมเสมอ ดังนั้น การรวมฟังก์ชันสองตัวที่เป็นฟังก์ชันทั้งหนึ่งต่อหนึ่งและครอบคลุม จะเป็นฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เช่นเดียวกัน ฟังก์ชันผกผันของการรวมฟังก์ชัน (ซึ่งสมมติว่ามีการผกผันได้) มีคุณสมบัติว่า $(f \circ g) -1 = g -1 \circ f -1$

อนุพันธ์ ของการรวมฟังก์ชันที่มีความแตกต่างได้สามารถหาได้โดยใช้กฎลูกโซ่ สำหรับ อนุพันธ์อันดับสูงของฟังก์ชันเหล่านี้ จะใช้สูตรของ Faà di Bruno's formula

การรวมฟังก์ชันบางครั้งถูกอธิบายว่าเป็นการคูณชนิดหนึ่งในพื้นที่ของฟังก์ชัน แต่มีคุณสมบัติที่แตกต่างจากการคูณแบบจุดของฟังก์ชัน (เช่น การรวมฟังก์ชันไม่เป็นการคูณที่สับเปลี่ยนได้)^[2]

การรวมฟังก์ชันในโครงสร้างโมนอยด์

หากเรามีฟังก์ชันสองตัว (หรือมากกว่า) $f : X \to X,$ $g : X \to X$ ซึ่งมีโดเมนและโคโดเมนเดียวกัน ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่าการเปลี่ยนแปลง เราสามารถสร้างโซ่ของการเปลี่ยนแปลงที่รวมกัน เช่น $f \circ f \circ g \circ f$ โซ่เหล่านี้มีโครงสร้างทางพีชคณิตของโมนอยด์ ซึ่งเรียกว่า การเปลี่ยนแปลง ของ โมนอยด์ หรือ (ซึ่งหาได้ยาก) โมโนอิดการรวม โดยทั่วไป โมนอยด์การเปลี่ยนแปลงอาจมีโครงสร้างที่ซับซ้อนมาก ตัวอย่างที่น่าสังเกตอย่างหนึ่งคือเส้นโค้งเดอรัม เซตของฟังก์ชันทั้งหมด $f : X \to X$ เรียกว่า เซมิกรุ๊ปการแปลง (full transformation semigroup) หรือ เซมิโก๊ปสมมาตร (symmetric semigroup) บน $X$ (เราสามารถนิยามเซมิโก๊ปสองตัวขึ้นอยู่กับการนิยามการดำเนินการของเซมิโก๊ปว่าเป็นการรวมฟังก์ชันทางซ้ายหรือทางขวา)

หากการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (และดังนั้นสามารถผกผันได้) ชุดของการรวมกันทั้งหมดที่เป็นไปได้ของฟังก์ชันเหล่านี้จะสร้างกลุ่มการเปลี่ยนแปลง (transformation group); และกล่าวได้ว่ากลุ่มนี้ถูกสร้างขึ้น โดยฟังก์ชันเหล่านี้ ผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีบทของเคย์ลีย์ กล่าวโดยพื้นฐานว่ากลุ่มใด ๆ เป็นเพียงกลุ่มย่อยของกลุ่มการจัดเรียง (จนถึง ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึม)^[3] ชุดของฟังก์ชันที่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมด $f : X \to X$ (ซึ่งเรียกว่าการจัดหมู่) จะสร้างกลุ่มหนึ่งในด้านการรวมฟังก์ชัน กลุ่มนี้เรียกว่ากลุ่มสมมาตร หรือบางครั้งเรียกว่า กลุ่มการรวม (composition group).

ในเซมิโก๊ปสมมาตร (symmetric semigroup) ซึ่งประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ยังมีแนวคิดของการผกผันที่อ่อนแอกว่าและไม่เป็นเอกลักษณ์ (เรียกว่า pseudoinverse) เนื่องจากเซมิโก๊ปสมมาตรเป็นเซมิโก๊ปปกติ

อ้างอิง

↑ Weisstein, Eric W. "Composition". mathworld.wolfram.com (ภาษาอังกฤษ). สืบค้นเมื่อ 2020-08-28.
↑ "3.4: การรวมฟังก์ชัน". Mathematics LibreTexts (ภาษาอังกฤษ). 2020-01-16. สืบค้นเมื่อ 2020-08-28.
↑ มหาวิทยาลัยรามคำแหง, ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น. "8.2 กราฟถอดแบบ Isomorphism of Graphs" (PDF). old-book.ru.ac.th. สืบค้นเมื่อ 2020-08-28.

[:0-1] Weisstein, Eric W. "Composition". mathworld.wolfram.com (ภาษาอังกฤษ). สืบค้นเมื่อ 2020-08-28.

[2] "3.4: การรวมฟังก์ชัน". Mathematics LibreTexts (ภาษาอังกฤษ). 2020-01-16. สืบค้นเมื่อ 2020-08-28.

[3] มหาวิทยาลัยรามคำแหง, ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น. "8.2 กราฟถอดแบบ Isomorphism of Graphs" (PDF). old-book.ru.ac.th. สืบค้นเมื่อ 2020-08-28.

[1]

[2]

[3]