Equação de Raychaudhuri

Na relatividade geral, a equação de Raychaudhuri, ou equação de Landau-Raychaudhuri, é um resultado fundamental que descreve o movimento de porções de matéria próximas. A equação oferece uma validação simples e geral de nossa expectativa intuitiva de que a gravitação deveria ser uma força atrativa universal entre quaisquer duas porções de massa-energia na relatividade geral, como é na teoria da gravitação de Newton.

A equação foi descoberta independentemente pelo físico indiano Amal Kumar Raychaudhuri e pelo físico soviético Lev Landau.

Declaração matemática

Dado um campo vectorial de unidade de tempo ${\vec {X}}$ (que pode ser interpretado como uma família ou congruência de linhas do universo não-interceptadas através da curva integral, não necessariamente geodésicas), a equação de Raychaudhuri pode ser escrita

${\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}$

onde

$\sigma ^{2}={\frac {1}{2}}\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\omega _{mn}\,\omega ^{mn}$

são (não-negativas) invariantes quadráticas do tensor de cisalhamento

$\sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}$

e o tensor de vorticidade

$\omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}$

respectivamente. Aqui,

$\theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}$

é o tensor de expansão, $\theta$ é o seu traço, chamado de escalar de expansão, e

$h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}$

é o tensor de projeção nos hiperplanos ortogonais a ${\vec {X}}$. Além disso, o ponto denota diferenciação em relação ao tempo próprio contado ao longo das linhas do universo na congruência. Finalmente, o traço do tensor das marés $E[{\vec {X}}]_{ab}$ também pode ser escrito

${E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}$

Esta quantidade é às vezes chamada de Escala de Raychaudhuri.