Kompositioun (Mathematik)

Als Kompositioun bezeechent een an der Mathematik d'Hannereneenausféiere vu Funktiounen. Domat ass gemengt, datt een op een Element fir d'éischt déi eng Funktioun uwennt an dann op d'Resultat dovunner déi aner Funktioun nach uwennt. D'Kompositioun vu Funktioune gëtt meeschtens mam Zeechen $\circ$ notéiert.

Definitioun

Fir Ensembelen $A$, $B$ an $C$ a fir Funktiounen $f\colon \,A\to B$ an $g\colon \,B\to C$ ass d'Kompositioun vun $f$ a $g$ definéiert als d'Funktioun

$g\circ f\colon \,A\to C$,

$x\mapsto (g\circ f)(x):=g(f(x))$.

Beispiller

Mir betruechten déi follgend zwou Funktiounen, déi d'reellen Zuelen $\mathbb {R}$ als Definitiouns- an Zilensembel hunn:

$f\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto x^{2}$,

$g\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto x+1$.

Da gëllt fir all $x\in \mathbb {R}$:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+1$.

An dësem Beispill kann een d'Funktiounen och ëmgedréint komponéieren a mir kréie fir all $x\in \mathbb {R}$:

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$.

Eegenschaften

D'Kompositioun vu Funktiounen ass assoziativ, d. h. datt fir all Ensembelen $A$, $B$, $C$ an $D$ a fir all Funktiounen $f\colon \,A\to B$, $g\colon \,B\to C$ an $h\colon \,C\to D$ gëllt:

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).$

Beweis:  

Fir all $x\in A$ gëllt:

$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))=h((g\circ f)(x))=(h\circ (g\circ f))(x)$.

D'Kompositioun ass awer am Allgemengen net kommutativ, wéi d'Beispill uewe weist: Do gëllt nämlech $g\circ f\neq f\circ g$.

Um Spaweck

Commons: Kompositioun (Mathematik) – Biller, Videoen oder Audiodateien