מרחב-זמן

בפיזיקה, מרחב-זמן או רצף מרחב-זמן^[1], הוא המרחב הארבַּע-ממדי, שנהוג לייצגו על ידי מערכת של קואורדינטות מרחביות וקואורדינטת זמן, שכל נקודה בה מציינת אירוע המתרחש במקום ובזמן מסוימים. לעיתים נקרא גם מרחב מינקובסקי, על שם המתמטיקאי הרמן מינקובסקי, שהציע ב-1907 את הרעיון והמודל המתמטי הראשון של מרחב-זמן.

מרחב-זמן הוא אחד הביטויים הבולטים להבדל בין תפיסת המכניקה הקלאסית, הרואה בזמן ובמרחב ממדים נפרדים ובלתי תלויים, לבין התפיסה היחסותית, הרואה בזמן ובמרחב גדלים הקשורים זה בזה, ותלויים בתנועה היחסית של הצופה והאובייקט הנצפה, ובהשפעת שדות כבידה.

השימוש במודל מרחב-זמן איפשר את המעבר מהייצוג הסטטי והרגעי של אירועים, המאפיין את המרחב התלת-ממדי, לייצוג משוכלל יותר, המאפשר תיאור רציף ושלם של היקום המתפתח^[2]. מעבר לכך, הגאומטריה והמטריקה של המרחב-זמן היוו כלי מרכזי להבנתם, הפשטתם והעברתם של רעיונות יסוד בתורת היחסות הפרטית והכללית, וכן לפיתוחם של הללו ושל תאוריות אחרות העוסקות ברמת המיקרו והמקרו של היקום. רעיון המרחב-זמן לא רק הצליח להמחיש את קביעותיה של תורת היחסות, ובייחוד את ההשקפה שמרחב וזמן הם שתי פנים של ישות אחת, אלא גם שינה את ההשקפה על היקום בהעניקו לזירת האירועים עצמה גוף ו'חיים'. תפיסה זו עולה מן המחקרים המוקדמים של המרחב-זמן, אך ביתר שאת ממודל המרחב-זמן הכבידתי שהציגה תורת היחסות הכללית. תחת מרחב סטטי, שהוא המקום בו דברים נמצאים ואשר 'אינו עושה כלום', נעשה מעבר לזירה דינמית יותר: מרחב-זמן המנחה את תנועת החומר והאנרגיה, שתצורתו נקבעת על ידי החומר והאנרגיה, ושלפי הקוסמולוגיה בת ימינו נוצר במפץ הגדול.

במהלך המאה העשרים, עם השתרשות תורת היחסות, חדר מושג המרחב-זמן לתחומים שונים של הפיזיקה, ואף החל לשמש כשם כללי למארג היקום או ה'עולם שלנו'.

הופעת המושג

בקוסמולוגיה של בני האינקה ושל ילידי האנדים שהושפעו מבני האינקה, הזמן והמרחב נתפסים כישות אחת המכונה פאצ'ה (בשפת קצ'ואה ושפת איימרה), כאשר המושג משמש הן להתייחסות ליקום כולו, הנתפס כמערכת מאוחדת אחת, והן להתייחסות לרגע במציאות – 'אירוע עולמי'^[3]. ביהדות, המוקדמת יותר, אחדות הזמנים בהוויה אחת, היא יסוד המבואר בשם המפורש י-ה-ו-ה - היה הווה ויהיה – אל אחד, חוק אחד שליט ההוויה^[^{דרוש מקור]}^{[דרושה הבהרה]}. ככל הידוע אלו התפיסות הרעיוניות המוקדמות ביותר של המרחב והזמן כאחדות. אזכורים מוכרים של רעיונות משיקים, בתרבות המערב, החלו להופיע רק החל מהמאה ה-18, כאשר המוקדמים שבהם נעשו במסגרת מדעית. בכתבים פילוסופיים ובדיוניים מערביים קיימות כמה התייחסויות לרעיון זה, מן המאה ה-19, שהרקע להן הוא העיסוק בסובייקטיביות אל מול ממשות, בגבולי ההכרה ומעמדן המעורער של קטגוריות התבונה האופייני לתקופה. ההתייחסות המוכרת הראשונה מופיעה במאמר של הפילוסוף הגרמני ארתור שופנהאואר מ-1813 בשם "על השורש הארבע-ראשי של עקרון הטעם המספיק". מאמרו של שופנהאואר מהווה מעין המשך לוויכוח הפילוסופי המוכר שהתנהל בין גוטפריד וילהלם לייבניץ לסמואל קלארק לגבי מוחלטות המרחב והזמן, אף שמסקנותיו שונות. במאמר טוען שופנהאואר כי יש לשלב את מושגי הזמן והמרחב, כדי לייצג באופן שלם את העולם: "לא ניתן לייצג את הקיום המאוחד רק באמצעות הזמן; מאחר שבזמן לבדו כלל הדברים עוקבים, ובמרחב לבדו כלל הדברים מצויים זה לצד זה; מכך נגזר כי רק משילוב הזמן והמרחב עולה האפשרות לייצוג הקיום המאוחד". התייחסות מוקדמת אחרת לרעיון המרחב-זמן הופיעה בשנת 1848 במאמר "אאורקה" של אדגר אלן פו העוסק בקוסמולוגיה. במאמר טוען פו לאחדות המרחב והזמן, בקבעו כי "מרחב ומשך חד הם".

ההתייחסות המוקדמת ביותר לרעיונות דומים, במסגרת הספרות הבדיונית, הופיעה בשנת 1895, בספר המדע הבדיוני של הרברט ג'ורג' ולס, מכונת הזמן: "אין כל הבדל בין הזמן וכל אחד משלושת ממדי המרחב, למעט זאת שההכרה שלנו נעה לאורכו" קובע הנוסע בזמן בספרו של ולס, ומוסיף "לכל גוף ממשי חייבת להיות הרחבה בארבעה כיוונים: חייב להיות לו אורך, רוחב, עובי, ומשך".

במהלך המאה העשרים, עם הפיתוח הפיזיקלי והמתמטי של המרחב-זמן (ראו סקירה להלן), נפוצו בשדה הפילוסופיה והאומנות, יותר ויותר התייחסויות למושג זה ולהשלכותיו, כאשר אלו תואמים יותר ויותר את המהפכה בתפיסה המדעית אשר הולידה אותו.

מרחב-זמן כמושג מתמטי ופיזיקלי

בשלהי המאה התשע עשרה ובתחילת המאה העשרים, החלה להתערער התפיסה הפיזיקלית הקלאסית-מודרנית של הזמן והמרחב כשני גדלים נפרדים, ומושגי המרחב והזמן החלו לאבד את מוחלטותם. תורת היחסות, תאוריית הדגל של מהפכה מדעית זו, לא רק הצביעה על כך שגדלים אלה אינם מוחלטים, תלויים בצופה המודד אותם ומשתנים ממערכת ייחוס אחת לאחרת, אלא גם על כך שהם שרוגים ותלויים זה בזה. המרחב-זמן כמושג, רעיון וכלי מתמטי-מדעי, פותח במסגרת חקירתה וגיבושה של תפיסה מדעית זו, אך להופעתו בזירה המדעית קדמו כמה מחקרים ואירועים מקדימים. ההתייחסות הראשונה לרעיון המרחב-זמן כמושג מתמטי הופיעה בשנת 1754, בערך "ממד" מן האנציקלופדיה הגדולה, שנכתב על ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר. התייחסות מוקדמת אחרת נמצאת בכתבים של ז'וזף-לואי לגראנז' העוסקים במכניקה אנליטית ומציגים את הרעיון כי "ניתן להתבונן במכניקה כבגאומטריה של ארבעה ממדים, ובמכניקה אנליטית כבהרחבה של גאומטריה אנליטית"^[4]. את הקווטרניונים, מערכות המספרים שהמציא ויליאם רואן המילטון בשנת 1843, ראה המילטון ממציאם כיישויות המאופיינות בממדים מעורבים של מרחב וזמן^[5]. אלגברת הקווטרניונים של המילטון, שמאפייניה האלגבריים מספיקים לבניית מודל מרחב-זמן ולאפיון הסימטריה שלו, הופיעה בזירה המדעית כמחצית המאה לפני הניסוח הפורמלי של תורת היחסות, ופיתוחים שלה משמשים עד היום בתחשיבים ותיאורים מדעיים שונים. עם זאת, בתקופתו של המילטון, נותרו הקווטרניונים בגדר כלי פיזיקלי-מתמטי שנוי במחלוקת שמשמעותו לא הובנה לעומקה. תקדים חשוב אחר לשילוב ממדי המרחב והזמן מופיע במחקר של ג'יימס קלרק מקסוול, משלהי המאה ה-19, העושה שימוש במשוואות דיפרנציאליות חלקיות לפיתוח אלקטרודינמיקה המתייחסת לארבעת הממדים. הישגיו של מקסוול בתחום היוו השראה להתפתחויות המדעיות הבאות ולהתגבשותה המואצת של תפיסה חדשה של המרחב והזמן, ולידת מושג המרחב-זמן המוכר לנו. כהמשך לעבודתו של מקסוול, גילה הנדריק לורנץ מספר אינווריאנטים (גדלים הנשמרים תחת טרנספורמציות) של משוואות מקסוול, שלימים הפכו לבסיס תורת היחסות הפרטית של איינשטיין. עבודתם של לורנץ ושל אנרי פואנקרה ממשיכו, הייתה קרובה מאוד לגילוי תורת היחסות הפרטית, אך הקושי שלהם לקבל את יחסיות הזמן (לוותר על הבו-זמניות במערכות ייחוס), מנע מהם את פיתוחה^[6]. תורת היחסות הפרטית הוצעה בסופו של דבר ב-1905 על ידי אלברט איינשטיין, אך על אף שהמרחב-זמן מצטייר לא-פעם כחלק ממנה, הוא למעשה תולדה מעט מאוחרת שלה.

מרחב-זמן יחסותי

מודל המרחב-זמן היחסותי הוצע במפורש רק ב-1908, במאמר המפתח ומרחיב את עבודתו של איינשטיין, שנכתב על ידי מורו, המתמטיקאי הרמן מינקובסקי^[7]. המודל המתמטי שהציע ובחן מינקובסקי ב-1908 הוא המחקר המפורש המוקדם ביותר העוסק בממדי המרחב והזמן כאספקטים של שלם אחדותי. את המודל הציע מינקובסקי בתחילה כניסוח מחודש למשוואות מקסוול ומאוחר יותר מתוך התייחסות לתורת היחסות הפרטית.

המודל המתמטי-גאומטרי של מינקובסקי מבטא את הקישוריות בין ממדי המרחב והזמן בשלבו אותם למערכת אחת. זהו מרחב מתמטי הנפרש על ידי קואורדינטות שקולות של מרחב וזמן כאחת^[8], בו כל נקודה מייצגת אירוע מרחבי-זמני מסוים, וכל קו מייצג השתלשלות אירועים אפשרית. מאחר שקל ויעיל לאפיין אירוע פיזיקלי במונחים של מקום וזמן, זהו כלי נוח להצגה וחקירה של אירועים, וכן של מרחב האירועים עצמו. באמצעות דיאגרמות שונות של מרחב-זמן הצליח מינקובסקי לבחון ולהמחיש אספקטים יחסותיים שונים. הרעיון של מינקובסקי הוביל בעצם לתפיסת תורת היחסות הפרטית בצורה גאומטרית יותר, ובכך העניק מובן גאומטרי לממצאים אמפיריים ותאורטיים שונים, כגון טרנספורמציות לורנץ, והשפיע לא מעט על התפתחות המדע. למעשה, ניתן לומר כי גאומטריית המרחב-זמן שהציע מינקובסקי תרמה משמעותית לפיתוח תורת היחסות הכללית, מאחר שאת התיאור המדויק של השפעת הגרביטציה על המרחב ועל הזמן - נושא המחקר המרכזי של תורת היחסות הכללית - פשוט יותר להמחיש ולהציג כ'עיקום' או כ'עיוות' במארג הגאומטרי של המרחב-זמן. ככלל, ניתן לראות בתורת היחסות הכללית מחקר מעמיק של המרחב-זמן. מודל המרחב-זמן שהציגה תורת היחסות הכללית מהווה שכלול של מרחב-זמן מינקובסקי; זהו מרחב לא-שטוח ודינמי, המתאפיין בעקמומיות ועיוותים שהם תוצא של פיזור המסה והאנרגיה בו^[9]. מודל מתמטי זה מעמיד 'עולם' בו הממדים ארוגים זה בזה לרצף יחיד, ובו לא רק הממדים מהווים רצף, אלא גם עולם התופעות הפיזיקליות עצמו מהווה רצף. זוהי יריעה דינמית, רציפה ושלמה של אירועים, בלא 'חורים', שבה כל אירוע מוקף באופן מלא באירועים 'שכנים', ממומשים או לפחות אפשריים^[10] – מארג עולם אחד, שבמובן מסוים ארבעת הממדים אינם אלא היטלים שלו^[11].

מושגי יסוד

באופן כללי המרחב-זמן הוא המרחב הארבע-ממדי, המהווה את זירת ההתרחשות של אירועים פיזיקליים. בדומה לתפיסת קו כאוסף כל הנקודות המאורגנות ברצף פורמלי מסוים ליצירתו, ניתן לראות במרחב-זמן כאוסף כל האירועים הפיזיקליים, ממשיים או אפשריים, המאורגן בצורה פורמלית ליריעה אחת - מרחב שלם ורציף, שכל נקודה בו מציינת אירוע מרחבי-זמני מסוים, ואשר ברמות מקומיות ניתן לתארו באמצעות מערכת קואורדינטות.

המרחב-זמן עצמו אינו תלוי בנקודת המבט של הצופה, אך ייצוגו נתון לבחירתו. לכן, לשם ייצוג או חקירה של התרחשות פיזיקלית, נוכל לבחור במודל המרחב-זמן הנוח לנו – מודל המיוצג על ידי מערכת הקואורדינטות המרחבית-זמנית הנוחה לנו, ואשר מייצג את מערכת הייחוס הנוחה לנו.

הגאומטריה של המרחב-זמן משתנה בנוכחות מסה ותחת השפעת תאוצה וסיבוב, לכן, כדי להבין את מבנהו ותכונותיו של המרחב-זמן, מוטב תחילה להתייחס למרחב-זמן שנהוג לראותו כמרחב תורת היחסות הפרטית – המרחב-זמן המצטייר מתוך התייחסות למערכות אינרציאליות בלבד (תנועות במהירויות קבועות). רכיבי המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית קבועים בכל מערכת ייחוס; אין זה מרחב אוקלידי, אך ציריו נותרים ישרים, ועל כן הוא מהווה מרחב שטוח^[12], הומוגני ואיזוטרופי (כל הכיוונים בו שווי ערך)^[13]. נהוג לכנות מרחב זה בשם מרחב פסאודו-אוקלידי או מרחב מינקובסקי. כדי להמחיש את תכונותיו של המרחב-זמן הארבע-ממדי, נהוג להשתמש בתרשימים בהם צירי המרחב מיוצגים על ידי שני צירים או ציר יחיד. דיאגרמות מעין אלו שימשו את מינקובסקי במחקרו, והן מכונות דיאגרמות מינקובסקי או דיאגרמות מרחב-זמן.

מערכת קואורדינטות ארבע-ממדית

בניית מודל גאומטרי ארבע-ממדי של מרחב-זמן, באמצעות מערכת קואורדינטות קרטזיות (ניתן לבחור במערכת קואורדינטות אחרת), נעשית על ידי הוספה של ציר זמן לשלושת הצירים המרחביים. כדי שהיחס בין הצירים השונים יהיה פשוט וסימטרי (מרחק זהה על כל ציר ייצג גודל זהה) וכך גם הגדלים במרחב, מוטב לבחור בקואורדינטות בעלות אותם ממדים. אם בחרנו ביחידות אורך (הבחירה הפשוטה יותר), נאחד את כלל הצירים על ידי שימוש באותה יחידת מרחק, גם בציר הזמן.

ההמרה של יחידות זמן למרחק נעשית על ידי הכפלה של יחידות הזמן במהירות; מאחר שמהירות האור היא גודל קבוע בכל מערכת, משתמשים בה להמרה, ומציגים את יחידות הציר הרביעי (ציר הזמן) כיחידות ct^[14], כאשר c היא מהירות האור בריק. כעת, להשלמת ההאחדה, נותר רק להתאים ספציפית את יחידות ct ליחידת המרחק המסוימת בה בחרנו. לדוגמה, אם בחרנו ביחידת מרחק שהיא קילומטר, כל יחידת ct תייצג גם היא קילומטר, כאשר כיחידת זמן (t) ישמש הזמן שהאור עובר מרחק של קילומטר. במצב זה, יחידות ציר ct עשויות עדיין להיקרא יחידות זמן, מאחר שניתן להתבונן בהן כיחידות זמן שהוכפלו בסקלר. עם זאת, במרחב-זמן ניתן למצוא גם קריאה רעיונית להסתפק ביחידת מידה אחת, של מרחק או של זמן, ולבטא מרחקים וזמנים באמצעות הגודל המשותף לכלל הצופים, הוא מהירות האור בריק^[15].

ישויות גאומטריות

קווי עולם בתרשים מרחב-זמן מצומצם. מסלול L1 מתאר גוף הנמצא במנוחה; מסלול L2 מתאר גוף הנע במהירות קבועה; מסלול L3 מתאר גוף במנוחה המתחיל בנקודת זמן מסוימת לנוע בתאוצה.

נקודת עולם – נקודה במרחב-זמן – היא סט מסוים של קואורדינטות (x, y, z, ct) אשר מייצג אירוע רגעי מסוים, מרחבי וזמני. זהו גודל פיזיקלי בעל כיוון – וקטור ארבע-ממדי (4-וקטור), המכונה וקטור המקום או וקטור המאורע. לשם נוחות, ניתן לאגד את הקואורדינטות המרחביות לגודל אחד – ${\vec {r}}$ – הוא וקטור המקום התלת-ממדי, ולציין נקודת עולם באמצעות ( ${\vec {r}},ct$ ).

נקודות שונות במרחב-זמן יציינו אירועים שונים. אם הקואורדינטות המרחביות של אירועים שונים זהות, אך קואורדינטת הזמן שונה, משמעות הדבר היא שהאירועים התרחשו באותו מקום אך בזמנים שונים.

במקרה בו הקואורדינטות המרחביות של אירועים שונים אינן זהות אך קואורדינטת הזמן זהה, משמעות הדבר היא שהאירועים התרחשו בו-זמנית אך במקומות שונים.

קו עולם או מסלול עולמי – קו במרחב-זמן – התקדמות מנקודה אחת לשנייה – מייצג באופן כללי אוסף מאורעות. כאשר מדובר במאורעות המתייחסים לגוף יחיד, קו עולם יציין מאורעות עוקבים, ובעצם את ההיסטוריה של הגוף - המסלול העולמי שלו. אופי הקו מעיד על אופי ההתרחשות:

- קו ישר המקביל לציר הזמן משמעו סדרת אירועים עוקבים המתרחשת באותו מקום – ללא שינוי מרחבי – ולכן מתאר גוף הנמצא במנוחה;

- קו ישר שאינו מקביל לציר הזמן מתאר גוף הנע במהירות קבועה;

- קו עקום מתאר גוף הנע במהירות משתנה, כלומר נמצא בתאוצה;

בנוסף להיבטים אלו, ניתן ללמוד מעקמומיות קו העולם (ישר או עקום) על מהירות הגוף. זווית גדולה יותר בין המסלול העולמי של גוף לבין ציר הזמן משמעה מהירות גדולה יותר. כאשר ההטיה המקסימלית האפשרית ביחס לציר הזמן היא של 45° (שיפוע שערכו 1), מכיוון שמהירותו של גוף מוגבלת ואינה יכולה לעלות על מהירות האור.

גופים מורכבים – במרחב-זמן ייצוג גופים מורכבים (אלומות אור או גופים המורכבים מחלקיקים בעלי מסה) יכול להיעשות באמצעות אוסף קווי העולם של רכיביהם האלמנטריים. אולם פיזיקאים מעדיפים להתייחס לגופים שכאלו כאל חלקיקים, או שדות, ולשרטט את מסלולם העולמי מתוך התייחסות למרכז המסה שלהם. אוסף אירועים, או קווי עולם, המהווים משטח דו-ממדי, מכונים יריעת עולם.

מרחב-זמן ומערכות ייחוס

לפי עקרון היחסות כלל מערכות הייחוס שוות ערך, ולשם תיאור העולם אנו יכולים לבחור במערכת הנוחה לנו. המערכת של צופה אינרציאלי, זו הנעה איתו, תיקרא מערכת המנוחה של הצופה. מדידת הזמן והנתונים המרחביים המאפיינים אירוע מסוים, ממערכות אינרציאליות שונות, תניב תוצאות שונות, להוציא מדידה של מהירות האור. הקשר בין הגדלים שימדדו צופים שונים הוא תוצא של המהירות היחסית של המערכות האינרציאליות ומבוטא במשוואות הטרנספורמציה של לורנץ, הקושרות בין הזמן והמרחב. תופעה דומה מתקיימת גם לגבי המרחב-זמן: המרחב-זמן ייראה שונה בכל מערכת ייחוס אינרציאלית; עבור כל צופה צירי המערכת יראו שונים, וכך גם רכיבי המסלול העולמי של אותו גוף. אם ניקח לדוגמה מסלול קרן אור העובר דרך ראשית הצירים, כמוצג בתרשים משמאל, נוכל לראות כיצד צירי מערכת הצופה הראשונה (המערכת שציריה הם ct ו-x) נבדלים מאלו של מערכת הצופה השנייה (המערכת שציריה הם 'ct ו-'x), על אף שמהירות הקרן זהה בשתי המערכות. דיאגרמה זו ממחישה את הקשר בין מערכות ייחוס אינרציאליות ומעניקה לו משמעות גאומטרית^[16]; במובן זה, האפקטים המוכרים של תורת היחסות, התכווצות האורך והתארכות הזמן, הם שינויים גאומטריים במרחב-זמן^[17].

הניסוח המתמטי של פוסטולט האינוואריאנטיות של מהירות האור עבור תנועה חד-ממדית הוא:

\ {\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\Delta x'}{\Delta t'}}={\frac {\Delta x''}{\Delta t''}}=c

ולכן בהתייחס למסלול קרן אור נקבל עבור מערכת הצופה הראשונה והשנייה כי:

\ {\frac {\Delta x}{c\Delta t}}={\frac {\Delta x'}{c\Delta t'}}=1

שקילות זו מצביעה על כך שצירי המרחב-זמן (x ו-ct במקרה זה) הם סימטריים ביחס למסלול האור בכל מערכת אינרציאלית. משקילות זו נגזר גם היחס הגאומטרי בין צירי המרחב-זמן במערכות אינרציאליות (כמתבטא בדיאגרמה משמאל): צירי המרחב של מערכת אחת יוטו בזווית מסוימת ביחס לצירי המרחב התואמים של המערכת השנייה ('x בתרשים). כאשר, ציר ct במערכת האחת יוטה באותה הזווית, ביחס לציר ct של המערכת השנייה, אך בכיוון הפוך (צירי ct ו-'ct בתרשים משמאל).

הטיה מסוג זה מכונה 'פסדו סיבוב', וניתן להציג או להסביר באמצעותה את התכווצות האורך והתארכות הזמן. זווית ההטיה מבטאת את יחס המהירויות בין המערכות - $\tan(\alpha )={\frac {v}{c}}$ -, כאשר צירי כל מערכת, לא משנה מה מהירותה, תמיד תואמים קטרים מצומדים של זוג היפרבולות. לתופעה זו חשיבות רבה בייצוג המטריקה של המרחב-זמן.

האינטרוול

במרחב אוקלידי תלת-ממדי, המיוצג על ידי קואורדינטות קרטזיות מרחביות, חישוב האורך של וקטור או המרחק בין שתי נקודות נעשה לפי משפט פיתגורס:

\Delta R^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}

כהכללה, וקטור האורך הזה, שהוא גודל אינווריאנטי, מייצג את המטריקה של המרחב התלת-ממדי. ניתן לבצע חישוב של המרחק בין שתי נקודות במרחב-זמן בצורה דומה, אך גודל זה אינו מבטא המטריקה של המרחב-זמן, ולמעשה נעדר משמעות פיזיקלית כללית. לכן ישנה התייחסות למשוואה שונה, מאותה צורה, המבטאת כמה וכמה הנחות ואפקטים מתורת היחסות, היא 'ריבוע האינטרוול' (או בקצרה, 'האינטרוול'):

{\Delta S^{2}}={c^{2}\Delta t^{2}}-({\Delta x^{2}}+{\Delta y^{2}}+{\Delta z^{2}})

ריבוע האינטרוול הוא גודל אינווריאנטי לורנץ, כלומר, נשמר בכל מערכת ייחוס אינרציאלית^[18] ומכאן חשיבותו^[19]. ביטוי זה מתקבל מהצגת הניסוח המתמטי של פוסטולט 'האינוואריאנטיות של מהירות האור' ( ${\frac {\Delta r}{\Delta t}}={\frac {\Delta r'}{\Delta t'}}=c$ ^[20]) כמשוואת ריבועי מרחקים עבור תנועת אור:

\ {\Delta S^{2}}={c^{2}\Delta t^{2}}-({\Delta x^{2}}+{\Delta y^{2}}+{\Delta z^{2}})=c^{2}{\Delta t'^{2}}-({\Delta x'^{2}}+{\Delta y'^{2}}+{\Delta z'^{2}})=0

כאשר, $\ c\Delta t$ הוא מרווח הזמן בין שני מאורעות לאורך מסלול קרן האור ו- $\Delta z$ , $\Delta y$ , $\ \Delta x$ הם המרווחים המרחביים בין אותם שני מאורעות^[21].

ריבוע האינטרוול עשוי גם להופיע בתצורה הבאה: ${\Delta S^{2}}={\Delta x^{2}}+{\Delta y^{2}}+{\Delta z^{2}}-{c^{2}\Delta t^{2}}$ . הבחירה בין התצורות היא עניין של מוסכמה בלבד, שכן שתי התצורות שקולות מבחינת משמעותן^[22].

ריבוע האינטרוול מתאפס עבור חלקיק הנע במהירות האור - בשל השקילות בין ct למרווח המרחבי - אך עשוי לקבל ערכים שונים, חיובים או שליליים, עבור תנועה שאינה במהירות האור. באמצעות טרנספורמציות לורנץ המאפשרות מעבר ממערכת ייחוס אחת למשנה, ניתן להוכיח כי ביטוי האינטרוול עבור $c\Delta t'$ , $\ \Delta z'$ , $\ \Delta y'$ , $\ \Delta x'$ שווה לביטוי האינטרוול עבור $\ c\Delta t$ , $\ \Delta z$ , $\ \Delta y$ , $\ \Delta x$ , ובכך להראות כי הוא נשמר בכל מערכת ייחוס, עבור כל גוף - כלומר, גם כשערכו שונה מאפס.

עבור ריבוע אינטרוול שערכו אפס, המרחק $\Delta S$ הוא קו ישר; עבור ערך שונה מאפס, $\Delta S$ מהווה היפרבולה. מכיוון שהמרחקים במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית אינם בהכרח חיוביים, מרחב זה לא מקיים את התכונה הראשונה מתוך שלוש התכונות המשמשות להגדרת מטריקה, ועל כן המטריקה שלו מהווה הרחבה של מושג המטריקה הפורמלי ומוגדרת כפסדו-מטריקה.

מביטוי ריבוע האינטרוול ניתן ללמוד על אופי המרחב: אם בביטוי מופיעות מכפלות מעורבות של קואורדינטות, משמעות הדבר היא שבמערכת קיים קשר של תלות (פונקציה) בין הקואורדינטות, שיבוא לידי ביטוי בתיאור האירועים בה. מכפלות שכאלה מעידות על עקמומיות המרחב (תורת היחסות הכללית מתייחסת גם למקרים אלה). במקרה ההפוך, בו אין בביטוי ריבוע האינטרוול מכפלות מעורבות של קואורדינטות, הקואורדינטות במערכת הן בלתי תלויות; קואורדינטה בלתי תלויה - שאינה מופיעה במכפלות מעורבות בביטוי ריבוע האינטרוול, ומכאן שאין קשר מובנה בינה לבין הקואורדינטות האחרות - מכונה 'קואורדינטה גאוסית' והיא ניצבת לקואורדינטות האחרות^[23]. במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית לא מופיעים בביטוי ריבוע האינטרוול מכפלות מעורבות, ומכאן שכלל הקואורדינטות ניצבות זו לזו והמרחב שטוח.

מאחר שערכו של ריבוע האינטרוול הוא גודל אינווריאנטי, תכונותיו אף הן אינוואריאנטיות ונשמרות בכל מערכות הייחוס; סוג האינטרוול גם הוא מהווה מאפיין הנשמר בכל מערכת ייחוס^[24]. נהוג למיין את האינטרוולים לשלושה סוגים, המאפיינים אירועים מסוגים שונים ומתאפיינים בתכונות שונות: 'אינטרוול דמוי-אור', 'אינטרוול דמוי-זמן' ו'אינטרוול דמוי-מרחב'.

אינטרוול דמוי-זמן

\ {c^{2}\Delta t^{2}}>{\Delta r^{2}}

\ {\Delta S^{2}}>0

אינטרוול דמוי זמן הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם גדול מן המרווח המרחבי - כלומר, אינטרוול חיובי. מאחר שגוף חומרי (בעל מסת מנוחה) אינו יכול לנוע במהירות גדולה ממהירות האור, המרווח הזמני בין שני מאורעות שאינם על מסלול קרן אור יהיה תמיד גדול מן המרווח המרחבי ביניהם. אינטרוול דמוי זמן יאפיין על כן אירועים הנמצאים על מסלול תנועתו של גוף חומרי.

שני אירועים שהאינטרוול ביניהם הוא דמוי-זמן, עשויים להיות קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), וניתן להעביר ביניהם מידע. תכונות אלו נגזרות מכך שצליחת המרווח המרחבי ביניהם היא בגדר האפשר, זאת אומרת, אינה נדרשת למהירות גבוהה ממהירות האור. קווי עולם ששיפועם גדול מ-1, או קטן מ-1-, יתאפיינו באינטרוול דמוי-זמן ונקראים 'קווים דמויי-זמן'.

אינטרוול דמוי-מרחב

\ {c^{2}\Delta t^{2}}<{\Delta r^{2}}

\ {\Delta S^{2}}<0

אינטרוול דמוי-מרחב הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם קטן מן המרווח המרחבי - אינטרוול שלילי. מאחר שלא ניתן לעבור את מהירות האור, את המרווח המרחבי בין שני מאורעות שהאינטרוול ביניהם דמוי-מרחב לא תוכל לצלוח קרן אור, כל שכן גוף חומרי. על כן, שני אירועים שהאינטרוול ביניהם הוא דמוי-מרחב אינם יכולים להיות קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), ולא ניתן להעביר ביניהם מידע. קווי עולם ששיפועם גדול מ-1- וקטן מ-1 יתאפיינו באינטרוול דמוי-מרחב ונקראים 'קווים דמויי-מרחב'.

אינטרוול דמוי אור

$\ {c^{2}\Delta t^{2}}={\Delta r^{2}}$

\ {\Delta S^{2}}=0

אינטרוול דמוי-אור, המכונה גם בשם 'אינטרוול האפס', הוא האינטרוול בין שני מאורעות שהמרווח המרחבי ביניהם שווה למרווח הזמנים ביניהם - כלומר, אינטרוול שערכו הוא אפס. אינטרוול דמוי-אור מתאר אירועים המתרחשים לאורך מסלול קרן אור ומכאן שמו. קווי עולם ששיפועם 1 יתאפיינו באינטרוול דמוי-אור ונקראים קווים דמויי-אור. קווי עולם שכאלה יכולים לתאר את תנועתו של גוף הנע במהירות האור - פולס אור.

דיאגרמת חרוטי האור

ערך מורחב – קונוס האור

עבור אירוע מוצא המשמש כראשית, אוסף כל האירועים שהאינטרוול בינם לבין אירוע המוצא הוא דמוי-אור מגדיר שני חרוטים במרחב-זמן: כלל האירועים המאוחרים לאירוע המוצא מהווים את פני השטח של חרוט האור העתידי - אלו הם מסלולי ההתפשטות האפשריים של הבזק אור מנקודת המוצא (הראשית); וכלל האירועים שקדמו לאירוע המוצא פורשים את פני השטח של חרוט העבר - אלו הם המקורות האפשריים לאירוע המוצא.

חרוטים אלו נקראים 'חרוטי האור', או 'חרוטי האפס', ומשמשים להמחשת הקשרים האפשריים בין מאורעות במרחב-זמן: כלל המסלולים העולמיים האפשריים של גופים חומריים, הקשורים בראשית, הם דמויי-זמן ונמצאים בתוך חרוטי האור. חרוט העבר מכיל את כלל האירועים שעשויים היו להשפיע על האירוע המתרחש בראשית, וחרוט העתיד מכיל את כלל האירועים שעשויים להתרחש בהשפעת האירוע הראשיתי. מסלולים המצויים מחוץ לחרוטי האור, הם דמויי-מרחב, ועל כן אינם יכולים לייצג מסלולים סיבתיים, לא של השפעה חומרית וגם לא של אנרגיית אור.

הטנזור המטרי

ערך מורחב – 4-וקטור

ריבוע האינטרוול $\Delta S^{2}$ הוא גודל אינוואריאנטי המאפיין ומייצג את המטריקה של המרחב-זמן. בשונה מריבוע האורך במרחב אוקלידי שטוח, החיובי תמיד, אינוואריאנט זה יכול להתאפס וגם לקבל ערכים חיובים או שליליים. ערכו של ריבוע אינטרוול מסוים נשמר בכל מערכות הייחוס, אך ביטויו משתנה ממערכת למערכת. עם זאת, ניתן לבנות באמצעותו את הכלי המתמטי המכונה הטנזור המטרי, אשר משמש לתרגום מערכי גדלים ממערכת קואורדינטות אחת לאחרת, ולהגדרת המכפלה הסקלרית של וקטורים ארבע-ממדיים במרחב-זמן עליו הוא מתייחס^[25]. בניית הטנזור המטרי נעשית על ידי ביטוי רכיבי ריבוע האינטרוול בצורה כללית, בה משמשים המקדמים המשתנים (התלויים) ואיבר הבסיס המשותף, בו הללו מוכפלים - הוא הטנזור המטרי. מטבעו, הטנזור המטרי הוא מאפיין כללי של מערכת הקואורדינטות אליה הוא משויך, וקשור באופן מהותי לתכונות המרחב שזו מייצגת (מטריקה מגדירה עקמומיות). הטנזור המטרי של מרחבים שטוחים אינו תלוי במערכת הייחוס או בתכונות לוקליות. תכונות אלו תקפות גם לגבי טנזור המטרי של המרחב-זמן השטוח של תורת היחסות הפרטית (מרחב מינקובסקי), שהוא המטריצה:

A=\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)

האלמנט האלכסוני הראשי בטנזור, (1 1- 1- 1-), שערכו שונה מאפס, הוא המשמעותי ביותר - האלמנט האלכסוני הראשי מבטא את היחס בין צירי המערכת, ועל כן מהווה את חותמת המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית. מכך שכל רכיבי האלכסון הראשי בטנזור הם קבועים וכל היתר הם אפסים, ניתן להסיק כי המערכת שהטנזור מייצג היא שטוחה.

ניסוח ריבוע האינטרוול כמכפלה סקלרית עצמית של ווקטור המרחק $dR$ בטנזור הוא: $\Delta S^{2}=A\times dR\times dR$

באופן דומה ניתן לבטא מכלול של גדלים פיזיקליים רלוונטיים. השימוש בפורמליזם הארבע-ממדי ובטנזור המטרי של המרחב-זמן הופכים את כל החישובים בתורת היחסות - הן של הדינמיקה (תנועת גופים) והן של האלקטרודינמיקה - לפשוטים יותר^[26].

מרחב-זמן בתורת היחסות הכללית

מאחר שבטבע גופים נעים בתנועה משתנה, מסתובבים, מאיצים ומאטים ונתונים להשפעת כוחות כבידה, ניתן לראות במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית מרחב תאורטי, שאינו מתאר את המרחב-זמן הכללי בו אנו חיים, ויעיל רק למקרים בהם השפעת גורמים אלו זניחה. מרחב-זמן המתייחס לגורמים השונים הללו הוא מורכב ושונה ממרחב-הזמן של תורת היחסות הפרטית. למעשה, עד לפיתוח תורת היחסות הכללית נדמה היה כי בכל הנוגע לתאוצות ולסיבובים, עקרון היחסות אינו תקף^[27]. החיפוש אחר הכללה של עקרון היחסות, לכל סוגי התנועה, הוא שהוביל את איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הכללית. תורה זו איגדה תופעות הקשורות בגרביטציה, במערכות ייחוס מואצות, ובתיאור גאומטרי של מרחבים עקומים^[28], וניתן לראותה כתורה שבמרכזה עומד התיאור של שינוי הגאומטריה של המרחב-זמן בהשפעת כבידה ותאוצה, כמו גם של השפעת שינויים גאומטריים אלו על התנהגותם של גופים במרחב-זמן.

המרחב-זמן של תורת היחסות הכללית הוא מרחב אירועים שמבנהו מוגבל ומעוצב על ידי תנועת הגופים והכוחות הפועלים בו, ובה בעת מכפיף או כופה אילוצים על תנועתם. מרחב זה אינו אוקלידי, ואף לא פסוודו-אוקלידי; מבנהו נקבע על ידי פיזור המסה והאנרגיה בו, ולכן עקמומיותו עשויה להשתנות מאזור לאזור באופן משמעותי. בשונה מהמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית, שאופיו הכללי נותר מוגדר וקבוע, המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית עשוי להיות לא-שטוח - ציריו אינם בהכרח ישרים, או ניצבים זה לזה, ועשויים להתעקם. כמו כן, מרחב זה אינו בהכרח הומוגני ואיזוטרופי, שכן תכונותיו עשויות להיות שונות, בנקודות שונות, ואף להשתנות במשך הזמן, כתלות במתרחש בו.

המרחב-זמן הכללי (המבנה הגאומטרי של היקום) מהווה על כן, לפי תורת היחסות, יריעת אירועים דינמית, אך שלמה ורציפה, ששינויים אזוריים בתכונותיה מהווים כעין 'עיקום' או 'מתיחה' במארגה, המתפלגים מנקודה לנקודה בצורה חלקה ורציפה. מבנה מרחב כללי זה נקבע על ידי כלל החומר והאנרגיה ביקום.

עיקום המרחב-זמן במערכות מואצות

כאמור, קודם לניסוח תורת היחסות הכללית, בכל הנוגע לתאוצה וכבידה, נדמה היה כי עקרון היחסות אינו פועל, ואת השינויים במרחב ובזמן המופיעים במערכות הנעות בתאוצה, או הנתונות להשפעת שדות כבידה, לא ניתן היה להסביר במסגרת תורת היחסות הפרטית. אם בהתייחס למערכות הנעות זו ביחס לזו במהירות קבועה, נמצא כי אופיו של המרחב-זמן אינו משתנה, למעט זאת שצירי המערכת האחת מוטים ביחס לצירי המערכת השנייה בפסדו-סיבוב, בהתבוננות במערכות הנעות בתאוצה נמצא כי המרחב-זמן אינו משמר את אופיו, והמערכת המואצת אינה נוהגת כמערכת אחידה, אלא מתגלים בתוכה הבדלים בתפיסת המרחב והזמן. תופעות אלו הן שהובילו לשינוי תפיסת המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית. כדי להבין את השינויים המתחוללים במרחב-זמן בהשפעת תאוצה, ניתן להתבונן במקרה מבחן של מערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה בגודלה.

הצגה גרפית של השינוי הרגעי בתמונת המרחב-זמן המצטיירת מנקודת מבטו של צופה (מערכת ייחוס) שתנועתו משתנה. עם שינוי אופי המהירות תמונת המרחב-זמן כולה סובבת ומתפתלת, והוא מצטייר כעקום. מסלולו העולמי של הצופה - הקו המנוקד - אף הוא מתעקם ומתכווץ או נמתח. הנקודות בתרשים מייצגות אירועים שונים במרחב.

שינוי המרחב-זמן תחת סיבוב

נתבונן בשתי מערכות ייחוס, מערכת נייחת ומערכת שנייה, הנעה סביב עצמה במהירות קבועה. כדוגמה למערכת כזו ניקח דיסקה שטוחה המסתובבת במהירות זוויתית קבועה $\omega$ . לתיאור המערכת החיצונית, שאינה קשורה לדיסקה ונמצאת במנוחה, נשתמש בקואורדינטות קרטזיות $X,Y,Z,cT$ ; לתיאור מערכת הדיסקה נשתמש בקואורדינטות גליליות $r,\theta ,z,ct$ , בהן: $r$ משמש לציון מרחק נקודה על פני הדיסקה מראשית הצירים, ו- $\theta$ לציון הזווית בין היטל וקטור על פני הדיסקה (מישור X-Y) לציר X.

משוואות הטרנספורמציה בין מערכת קרטזית למערכת גלילית הן:

{\begin{matrix}X=r\cos(\theta +\omega t)\\Y=r\sin(\theta +\omega t)\\Z=z\\cT=ct\\\end{matrix}}

ריבוע האינטרוול זהה בשתי המערכות:

{\Delta S^{2}}={c^{2}\Delta T^{2}}-({\Delta X^{2}}+{\Delta Y^{2}}+{\Delta Z^{2}})

כאשר ביטויו במערכת הדיסקה, לפי הצבת משוואות הטרנספורמציה לפרמטרים גליליים, הוא:

{\Delta S^{2}}={c^{2}\Delta t^{2}}(1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2})-({\Delta r^{2}}+r^{2}{\Delta \theta ^{2}}+{\Delta z^{2}}+2\omega r^{2}{\Delta \theta }{\Delta t})

עבור צופה ממערכת הדיסקה, כל נקודה נייחת על פני הדיסקה נמצאת במנוחה. עבור צופה מהמערכת החיצונית, שאינה קשורה לדיסקה, כל נקודה נייחת על הדיסקה נעה עם מערכת הדיסקה בתנועה סיבובית. במשוואת ריבוע האינטרוול, האיבר $2\omega r^{2}{\Delta \theta }{\Delta t}$ הוא המבטא צימוד זה בין הקואורדינטה הזוויתית והזמן^[29], תוצר המהירות הזוויתית. רכיב זה מבטא גם את ההבדלים בתפיסת מסלולי גופים בין מערכת הדיסקה והמערכת החיצונית לה. למשל, גוף הנע בקו ישר ונכנס למערכת הדיסקה ייראה לצופה החיצוני כנע בקו ישר על פני דיסקה מסתובבת, לעומת זאת עבור צופה ממערכת הדיסקה מסלול הגוף ייראה עקום^[30] - זאת מאחר שעבור צופה זה, הנקודות השונות שהגוף חלף בהן, נמצאות בזמנים שונים במיקום שונה. במערכת הדיסקה אם כן, תנועת גופים תוכפף תחת אילוצי תנועת המערכת^[31].

ערך מורחב – מרחב היפרבולי

בהתייחסות לזמן במערכות מתגלה אפקט יחסותי מוכר: במערכת הדיסקה השעונים מאטים, וההאטה תלויה במרחקם מראשית צירי הדיסקה. הפעם, האיבר $(1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2})$ המופיע בביטוי ריבוע האינטרוול הוא האחראי לביטוי התנהגות זו^[32].

במסגרת המכניקה הקלאסית הוסברו השינויים בזמן ובמרחב על פני הדיסקה כתוצר פעולתם של כוחות מדומים. במסגרת תורת היחסות הללו מהווים תוצר של שינוי בגאומטריה של המרחב-זמן המתבטאים בשינויים במטריקה; כפי שציינו, ריבוע האינטרוול מאפיין את המטריקה של המרחב ולכן שינוי מהותי באיבריו מעיד על שינוי המטריקה. בביטוי ריבוע אינטרוול של מערכת הדיסקה מקדמי הדיפרנציאלים (הרווחים הקואורדינטורים) - שהם רכיבי הטנזור המטרי - אינם קבועים, אלא תלויי מהירות זוויתית ומרחק. איברים אלו אמנם אינם קשורים לאלמנט האלכסוני של הטנזור המטרי של תורת היחסות הפרטית, אלא לרכיבים הנמצאים מחוץ לו, אך עדיין מהווים שינוי במבנהו, דבר המעיד על שינוי באופי המרחב-זמן של מערכת זו^[33]. בעוד הטנזור המטרי של מרחב-זמן תורת היחסות הפרטית התאפיין בחוסר תלות במערכות ייחוס ובתכונות לוקליות, בטנזור המטרי המאפיין את המרחב-זמן של מערכות הנעות במהירות זוויתית, מופיעים רכיבים תלויי מקום - תכונה המאפיינת מרחבים עקומים^[34]. אם בהתייחס למערכות ייחוס אינרציאליות מצאנו כי צירי המערכת האחת מוטים בפסדו-סיבוב ביחס למערכת השנייה אך המרחב-זמן נותר שטוח, במקרה של מערכת הדיסקה המרחב והזמן הקואורדינטורים כבר אינם קבועים, והדיסקה מתנהגת כמרחב בעל עקמומיות שלילית^[35].

תאוצה, גרביטציה ועקמומיות

ראינו כי צירי מערכות ייחוס אינרציאליות מוטים בפסדו-סיבוב זו ביחס לזו, בזווית התואמת את יחס המהירויות ביניהן. בתאוצה ניתן להתבונן כבשינוי מהירות, ומכאן שתצטייר אף היא כסיבוב יחסי של צירי המרחב-זמן של מערכת, אלא שבמקרה זה הסיבוב יהווה משתנה תלוי קואורדינטות, דבר המאפיין מרחב עקום. מבחינה זו, מערכת הנעה בתאוצה ישרה דומה למערכת המסתובבת במהירות קבועה. כפי שראינו, במערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה, רכיבי הטנזור תלויים במרחק מראשית צירי המערכת ובמהירות הזוויתית - המשתנים המגדירים את התאוצה הרדיאלית ( $a_{r}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r$ ). במערכת הנעה בתאוצה ישרה יופיעו מאפיינים דומים, שימצאו גם הם את ביטויים בריבוע האינטרוול - כרכיבים תלויי קואורדינטות.

השפעת כבידה דומה במידה מסוימת להשפעת תאוצה, מאחר שהיא פועלת באופן דומה לכוחות המדומים המופיעים במערכות מואצות ומקנה לגופים עליהם היא פועלת תאוצה שאינה תלויה במסתם. מדמיון זה נגזר כי השפעת כבידה על המרחב-זמן תהא דומה להשפעת תאוצה ותתבטא אף היא בסיבוב צירי המרחב-זמן, אלא שהפעם, בשל חוסר אחידות שדות כבידה, כיוון ומידת הסיבוב - העקמומיות - עשויים להשתנות מאזור לאזור בצורה משמעותית ולייצר במרחב-זמן עיוותים^[36].

איינשטיין זיהה את הדמיון בין התופעות המתגלות במערכות מואצות ומערכות הנתונות להשפעת כבידה, ומחקירתו אותו מכיוונים שונים גזר את עקרון השקילות בין מסה אינרציאלית ומסה גרביטציונית, הגורס כי התופעות הנצפות במערכות מואצות ואלו הנובעות משדה כבידה הומוגני^[37] שקולות מבחינה פיזיקלית ולא ניתן יהיה להבחין ביניהן^[38]. רעיון זה היווה אחד מאבני הדרך המשמעותיות בפיתוח תורת היחסות הכללית, שאיפשרו לאיינשטיין לאגד ולקשור את מכלול התופעות הקשורות באינטראקציות בין מסות ותנועת גופים ואנרגיה, לכלל תאוריה חדשה, המעמידה תיאור והגדרה פורמלית של הקשר בין המרחב-זמן לבין תנועת החומר והאנרגיה בו, התקפים לכלל מערכות הייחוס. התאוריה שפיתח איינשטיין מציגה גישה שונה למרחב-זמן, ובשל עיסוקה במרחבים לא הומוגניים, שעקמומיותם עשויה להשתנות בצורה דרסטית, היא מתייחסת למרחבים שרכיבי הטנזור שלהם אינם קבועים.

גישת תורת היחסות הכללית

ערך מורחב – תורת היחסות הכללית

הרעיון המרכזי של תורת היחסות הכללית - כי הכבידה היא אינה אלא תוצר של עקמומיות ועיוותים במרחב-זמן הנוצרים בשל פיזור המסה והאנרגיה בו, וכופים אילוצים על תנועת האנרגיה והגופים בו - היווה בזמנו מהפכה בתפיסת העולם הפיזיקלית. בתפיסה זו, כבידה אינה כוח משיכה הפועל בין מסות, כפי שגרס ניוטון, אלא תכונה המושרת על המרחב-זמן, שמובנה גם רחב יותר, באשר הוא מתייחס הן לכבידה הניוטונית (השפעת האינטראקציה הסטטית בין מסות) והן להשפעת מסה אינרציאלית (האינטראקציה הדינמית)^[39]. יתר על כן, לפי תפיסה זו, השינויים בתכונות המרחב-זמן (באופי ומידת עקמומיותו) מאזור לאזור, הם המסבירים את התנהגותם השונה של גופים במרחב ואת האפקטים היחסותיים השונים. "המרחב והזמן", כפי שמסביר הוקינג בספרו הפופולרי קיצור תולדות הזמן, "הם גורמים כמותיים דינמיים: כשגוף נע, או כשכוח פועל, הדבר משפיע על עיקום המרחב והזמן – מצד שני, מבנהו של המרחב-זמן משפיע על הדרך שבה גופים נעים וכוחות פועלים"^[40].

לפי תורת היחסות הכללית, בהינתן האפשרות לסכום את השפעת כוחות הכבידה הכלליים, ניתן בעצם לקבוע את השדה הכבידתי הכללי של מערכת, וממנו לגזור את הגאומטריה של המרחב-זמן על התכונות שהכבידה משרה עליו; ובהינתן הגאומטריה של המרחב-זמן המוכפף לאילוצי הכבידה הכללית, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו.

תורת היחסות הכללית מחליפה למעשה את שדות הגרביטציה הכלליים במרחב עקום, כאשר קשר ההשפעה בין הללו הוא דו-סטרי: פילוג האנרגיה והמסה קובעים את הגאומטריה של המרחב-זמן, וזו מצידה יוצרת תנועה באנרגיה ובמסה, ועל ידי כך משנה את התפלגותם^[41].

המבנה היסודי בתורת היחסות הכללית הוא היריעה, כאשר ביטוי החוקים הפיזיקליים נעשה באמצעות וקטורים וטנזורים התלויים בגאומטריה^[42]. בהתייחס לגאומטריה, עקמומיות היא המאפיין המבטא את כל תכונות המרחב, את שינוי יחסי המרחק בין הנקודות במרחב, ואלו ניתנות להצגה על ידי הטנזור המטרי. לכן רכיבי הטנזור המטרי הם המשתנים בהם עוסקת תורת היחסות הכללית, כאשר ההתייחסות היא למרחב המאורעות כולו - כלומר לתכונות על פני כלל המרחב הארבע-ממדי^[43].

הגדרה מתמטית

המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית מוגדר על ידי משוואת השדה של איינשטיין. משוואה זו מבטאת את הקשר בין פילוג המסה והאנרגיה במרחב-זמן לבין רכיבי הטנזור המטרי, ותצורתה היא^[44]:

R_{uv}-{\frac {1}{2}}g_{uv}R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{uv}

כאשר, $R_{uv}$ הוא טנזור העקמומיות של ריצ'י; $g_{uv}$ הוא הטנזור המטרי; $R$ הוא סקלאר ריצ'י; $\pi$ הוא הקבוע המתמטי פאי; $G$ הוא קבוע הכבידה של ניוטון; $c$ היא מהירות האור; ו- $T_{uv}$ הוא טנזור המאמץ-אנרגיה;

את המשוואה ניתן לבטא גם בצורה הקומפקטית יותר, באמצעותם טנזור איינשטיין ( $G_{uv}$ ), שרכיביו הם רכיבי הטנזור המטרי ונגזרותיהם:

G_{uv}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{uv}

צידה השמאלי של המשוואה מתייחס לגאומטריה של המרחב - רכיבי הטנזור המטרי ונגזרותיהם -, וצידה הימני לחומר - צפיפות המסה והאנרגיה, צפיפות התנע ורכיבי טנזור המאמץ, המהווים יחדיו את טנזור המאמץ-אנרגיה^[45].

מאחר שלכל טנזור ארבע-ממדי 16 רכיבים (צירופי $u,v=1,2,3,4$ ), משוואת השדה של איינשטיין מהווה בעצם 16 משוואות. עם זאת, בשל הסימטריות האלכסונית של הטנזורים, אלו מצטמצמות לעשר משוואות שונות. פתרון המשוואה נותן את רכיבי הטנזור עבור כל נקודה במרחב-זמן - על פני כל המרחב הארבע-ממדי. מאחר שאלו הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות, הכוללות כמה משתנים לא-תלויים, ואי-ליניאריות^[46] ממעלה שנייה, אין להן פתרון כללי, והן פתירות רק עבור מקרים פרטיים, או מסוימים ומוגדרים. דוגמה לפתרון שכזה היא מטריקת שוורצשילד - הפתרון המדויק הראשון למשוואות, שהוצע על ידי האסטרונום קארל שוורצשילד. כאמור, משוואות איינשטיין מתארות את הקשר הכללי בין פיזור ותנועת אנרגיה למבנה המרחב-זמן, ועל כן חובות בתוכן תיאור של כלל המקרים הפרטים של תצורות המרחב-זמן. למשל, רכיבי הטנזור במשוואות השדה של איינשטיין יהיו קרובים לרכיבי הטנזור של מרחב-זמן תורת היחסות הפרטית, במקרים בהם שדות הכבידה חלשים ואין שינוי גדול בתנועת מקורות השדה (מצבים התלויים בנתונים הכלולים בטנזור המאמץ-אנרגיה) - מצב זה קרוב לשל תנועה קבועה והיעדר שינויים גדולים ברכיבי הטנזור המטרי; לעומת זאת, קרבה לתאוריה הניוטונית של הכבידה תתקיים כאשר שדות הכבידה חלשים, ועל כן אינם מייצרים שינויים דרסטיים בעקמומיות המרחב וכאשר המהירויות נמוכות - המקרה בו האפקטים היחסותיים הפרטיים זניחים^[47].

מסלולי תנועה גאודזיים

לפי תורת היחסות הכללית נוכחות ותנועת מסה מעוותת את המרחב-זמן ויוצרת בו עקמומיות. עקרון ההתמדה קובע כי גופים ישאפו להתמיד בתנועתם, ולכן, כמנוסח בחוק הראשון של ניוטון, במצב של תנועה במהירות קבועה ובהיעדר השפעת כוחות נוספים, גופים ינועו בקו ישר. עקרונות תנועה אלו נשמרים בתורת היחסות הכללית: גופים חופשיים ינועו "תמיד בקווים ישרים במרחב-זמן ארבע-ממדי," אך בשל עקמומיות המרחב יראו לנו "כאילו הם [נעים] בקווים עקומים במרחב התלת-ממדי שלנו"^[48]^[49]. תנועת גופים במרחב-זמן של תורת היחסות מתוארת לפיכך באמצעות מסלולים גאודזים: קו גאודזי או מסילה גאודזית הוא המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום; במרחב שטוח קו גאודזי הוא ישר, ובמרחב תלת-ממדי עקום זהו מסלול גאודזי. למשל, על פני כדור, המסילות הגאודזיות הן המעגלים הגדולים שהרדיוס שלהם שווה לרדיוס הכדור.

לפי תורת היחסות במרחב-זמן הארבע-ממדי, גוף ינסה להתמיד בתנועה ישרה, אך נתיב תנועתו יוכפף ויתעקם בשל עקמומיות המרחב, והוא ינוע במסלול הקצר ביותר האפשרי לו - כלומר, במסילה גאודזית. מבחינה זו עקמומיות המרחב מייצגת למעשה את האילוצים הנכפים על גופים על ידי שדות הכבידה הכלליים^[50]. לכן, בהינתן הגאומטריה של המרחב ועקמומיותו, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו. ניבויים אלו של תורת היחסות הוכחו כמה שנים אחר ניסוח תורת היחסות הכללית. משוואות התנועה הקו-ואריאנטיות של איינשטיין מאפשרות חישוב מסלולים שכאלה. כמשוואת השדה גם משוואות אלו הן משוואות דיפרנציאליות סבוכות, העושות שימוש בחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות.

תמונת היקום

ערכים מורחבים – המפץ הגדול, משוואות פרידמן

אופייה הכללי של תורת היחסות הכללית מאפשר להסיק כמה מסקנות לגבי המבנה הגאומטרי של היקום. מאחר שהידע המצוי בידנו אינו מלא מסקנות אילו מוגבלות, וחלקן אינו אלא קירוב גס. איינשטיין עצמו ניסח כמה מסקנות לגבי טיבו של מבנה היקום^[51]. לפי איינשטיין, מכך שהכבידה משפיעה על התנהגות המרחב והזמן ומייצרת אפקטים יחסותיים, ניתן לשלול את האפשרות שגאומטריית היקום היא אוקלידית, אך גם להניח כי באופן כללי אין היא נבדלת אלא במעט מהגאומטריה האוקלידית, מאחר שהשפעת הכבידה (גם של מסות מסדר גודל של השמש) על מארג המרחב-זמן משמעותית בסביבה הקרובה אליה בלבד ובאזור קטן יחסית. היקום לפי איינשטיין גם אינו פסאודו אוקלידי (כמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית), מאחר שמסות גדולות יוצרות בו עקמומיות חריגות. לפי נתונים אלו, ועל סמך זאת שעל אף שפיזור החומר ביקום אינו אחיד, בהתבוננות ביקום בקנה מידה התואם את ממדיו, נראה כי החומר בו מחולק בצורה הומוגנית שהסטיות ממנה הן זעירות ביותר. בשל כך, לצורך התייחסות למבנה הכללי של גאומטריית היקום, נוכל להניח כי המרחב-זמן הכללי הוא הומוגני ואיזוטרופי. מהנחה זו משתמע כי הצפיפות הממוצעת של החומר ביקום שווה בכל רגע, אך לא בהכרח קבועה בזמן^[52]. על סמך נתונים והנחות אלו נוכל לקבוע כי גאומטרית המרחב-זמן הכללי (מבנה היקום) נוהגת כיריעה שעקמומיותה קבועה באופן כללי, ואשר רק באזורים פרטיים שלה מתקיימות חריגות. מסקנה זו היא כללית ביותר ואינה מתארת את צורתו של היקום או עונה על השאלה האם מבנה היקום יציב באופיו או מתפתח ובאיזו צורה. מראית היקום למעשה תלויה בצפיפותו.

ישנן כמה אפשרויות בסיסיות המתאפיינות בסימטריות מרחב-זמן שונות^[53]:

יקום ספירי – אליפטי או כדורי – זהו יקום סגור בו קרן אור יכולה להקיפו ולחזור לנקודת המוצא
יקום פרבולי – יקום שטוח, פתוח ובעל נפח אינסופי, הקרוב לתפיסה הקלאסית
יקום היפרבולי – יקום דמוי אוכף, פתוח ואינסופי

משוואות תורת היחסות הכללית הצביעו על כך שהיקום אינו סטטי, אך עד לגילוי עדויות להתפשטות היקום דבק איינשטיין במודל של יקום סטטי שיסביר את היציבות היחסית לה אנו עדים, ואף ניסה, ללא הצלחה, לתקן את משוואות השדה כך שישקפו מערכת כללית יציבה, באמצעות הוספת הקבוע הקוסמולוגי^[54].

תצפיות אסטרונומיות הוכיחו זה מכבר כי היקום מתפשט, וכי כלל הגלקסיות בו מתרחקות זו מזו בצורה ישרה, התפשטות המבוטאת בחוק האבל. תגליות אלו ואחרות חיזקו תאוריות הטוענות להתפשטות היקום. בהתייחס להתפשטות קיימים כמה מודלים של יקום התואמים מידע זה שחלקם הוצעו על ידי אלכסנדר פרידמן^[55]:

יקום סגור שהתפשטותו מוגבלת ונועדת לקרוס;
יקום פתוח המתפשט לנצח;
יקום פתוח המתפשט לאינסוף אך במהירות יורדת והולכת, שלבסוף תיעצר ותגיע למצב סטטי;

כל אחד מפתרונות אלו הוא תוצר של חישוב עבור צפיפות ומידת התפשטות התחלתית שונה, אך לשלושתם תכונה משותפת - כולם מצביעים על כך שהיקום מתפשט ושבעבר הרחוק המרחק בין הגלקסיות היה אפסי וצפיפות היקום ועיקום המרחב-זמן היו בשיעור אינסופי^[56]. נקודת זמן זו קרויה המפץ הגדול ומציינת ייחודיות קיצונית, בה כלל התאוריות המדעיות המוכרות קורסות. תאוריית המפץ הגדול - התאוריה המובילה בתחום - גורסת כי היקום החל את דרכו ממצב דחוס ומכווץ מאוד, בהתפשטות מהירה, כעין מפץ, שמהירותה פוחתת עם השנים ועתידה בזמן כלשהו להתהפך ולהתחיל תהליך של התכווצות. לפי תאוריה זו, בעת המפץ הבראשיתי נוצר המרחב-זמן. כמו כן, מקובלת ההשערה כי בשל עוצמת הכבידה, המרחב-זמן מתכופף סביב עצמו, ולכן היקום הוא סגור וסופי אך בה בעת חסר גבולות^[57]. אמיתות השערה זו תלויה בצפיפות היקום, ערך שאינו ודאי^[58]^[59].

מרחב-זמן קוונטי

ישנן כמה תאוריות המנסות לאחד בין תורת הקוונטים ותורת היחסות הכללית, ולמצוא את המבנה היסודי המעמיד תאוריה שתשמר את התכונות הקוונטיות ותספק תיאור של התנהגות חלקיקי החומר, ובה בעת תתיישב עם תורת הכבידה היחסותית. במרכז מחקר זה עומד הניסיון להציע מודל תת-קוונטי, פיזיקלי-מתמטי, הנענה להתנהגות המוכרת המדידה של החומר והאנרגיה ביקום, לפי החשיבה הפיזיקלית, ועומד בקנה אחד עימה.

תאוריות שונות אלו, המכונות בשם הכולל תורת כבידה קוונטית, נאלצות להיענות לקשיים שונים הנובעים מההתנהלות השונה של המרחב והחומר-אנרגיה, כפי שאנו מכירים אותם, ברמת המיקרו והמקרו. חלק מתאוריות הכבידה הקוונטית עוסקות בחקירת מאפייני המרחב-זמן ברמה הקטנה ביותר המכונה סקלת פלאנק ( $10^{-35}$ מטר בקירוב).

אין עדיין תאוריה יחידה מגובשת, ומבנה המרחב-זמן הקוונטי עדיין אינו ברור או מוסכם, למעט החיזוי כי הוא בדיד. משום שאישושן של תורות הכבידה הקוונטית, ברמת המיקרו, עדיין אינו אפשרי באמצעות צפייה ישירה, התפתחות תחום המחקר כולו נעשה מתוך בחינת התאמת כל מודל מוצע, למול הידע השונה שהושג בשדה המחקר הפיזיקלי הכללי, בייחוד זה של חלקיקי יסוד וכוחות היסוד.

העיסוק בסדרי גודל מיקרוסקופיים, הופך את המרחב-זמן הקוונטי לרלוונטי גם להתייחסות לנקודות סינגולריות^[60] - המתארות מצב בו המרחקים בין חלקיקי החומר הם קטנים ביותר -, שלפי תורת היחסות עצמה, לא ניתן לטפל בהם במסגרתה^[61]. המחקר של נקודות סינגולריות, כגון חורים שחורים, מעמיד על כן אופציות נוספות - מופעי ואופני התנהגות רלוונטיים מדידים ומוכרים יותר – לבחינת תקפותן של תורות הכבידה הקוונטית.

כלל התאוריות הקיימות מצביעות כי ברמה התת-אטומית הגבולות וההגדרות המוכרים לנו, של ישויות ומבנים פיזיקליים שונים, מתמוססים, בהם חומר-אנרגיה ומרחב. ההתייחסות לישויות פיזיקליות אלו ואחרות ברמת המיקרו דורשת על כן העמקה במשמעותם ומעלה שאלות שונות חדשות, לגבי הרכבו של מרקם המרחב-זמן.

הדרישות והקשיים הייחודיים המרכזיים שעימם צריכה להתמודד תורת כבידה קוונטית הם:

לפי עקרון האי-ודאות של הייזנברג לחלקיקים אלמנטריים אין הן מיקום והן תנע ודאיים - קיימת רק תחזית סטטיסטית. גדלים אלו, לפי תורת היחסות, הם אשר קובעים את מבנה המרחב-זמן. משמעות הדבר היא כי במסגרת תורת כבידה קוונטית, נקבל חוסר ודאות לגבי מבנה היקום - כלומר, לגבי המרחב-זמן והגדרת מרחקים ויחסים גאומטריים^[62].
תורת הקוונטים מעצם טבעה עוסקת בגדלים בדידים. תורת כבידה קוונטית תצטרך על כן להתמודד עם גדלים בדידים ואולי אף עם מרחב-זמן בדיד - כלומר, מרחב שאינו רציף - ולהעמיד מודל ממנו ניתן יהיה להגיע למרחב הרציף של תורת היחסות ולמשוואות הלא-קוונטיות.
בהתייחס לרמה התת-אטומית, השפעת המסה-אנרגיה על עקמומיות המרחב היא מזערית, דבר המקשה על שמירת עקרון תורת היחסות לפיו המרחב-זמן אינו ישות בסיסית אלא מבנה התלוי בחומר-אנרגיה המאכלסים אותו.

בשל הבדלים אלו ואחרים התאוריות המתייחסות למרחב-זמן הקוונטי נדרשות על פי רוב לגישה מתמטית שונה מזו המשמשת ביחסות הכללית, ועושות שימוש בגאומטריות שונות (גאומטריה קוונטית). בין תאוריות הכבידה הקוונטית הבולטות נמצאות תורת המיתרים ותורת הכבידה הקוונטית הלולאתית. הללו אינן היחידות בתחום, אך מציגות גישות שונות ביסודן להתייחסות למרחב-זמן בסקלה הקוונטית.

תורת המיתרים

תורות המיתרים גורסות כי בצד שלושת ממדי המרחב המוכרים לנו קיימים ממדי מרחב נוספים, מכורבלים (קומפקטיים), כאשר מספר הממדים משתנה מתאוריה לתאוריה. באופן כללי תורות המיתרים השונות אינן מציעות מודל של מרחב-זמן קוונטי אלא מניחות את קיום המרחב-זמן כרקע להתרחשות התופעות ברמה הקוונטית; לתפיסתן, תנודת המיתרים או הממברנות (צורות היסוד של החלקיקים), אינה משפיעה על עקמומיות המרחב ומהווה הפרעה זניחה לגביו (ראו תורת ההפרעות). מרחב הרקע, לפי תורות המיתרים, מתעקם רק תחת השפעת אירועים מסקלה גדולה או בהשפעת אפקטים הפרעתיים (אוסף גדול של מיתרים או חלקיקים ייחודיים). פתרון משוואות תורת המיתרים נעשה על כן בשני חלקים; חלק בו נכתבות משוואות תורת המיתרים המתייחסות לתנודות המיתרים, וחלק בו מטריקת המרחב מחושבת לפי משוואות תורת היחסות. בחיבור שני חלקים אלו, הנחת ההפרעות על גבי הרקע, מתקבל הפתרון השלם^[63]. בהנחת קיומו של מרחב-זמן המהווה רקע - כלומר, מרחב קלאסי, לא קוונטי, וקבוע מראש - בעצם מציגה תורת המיתרים סתירה לתורת היחסות הכללית, הגורסת כי המרחב-זמן מהווה ישות דינמית, שהמטריקה שלו (עקמומיותו) היא תוצר של תנועת החומר-אנרגיה^[64]. למרות זאת, תורת המיתרים מרמזת כי המרחב-זמן אף הוא בדיד, בעצם כך שעולה ממנה כי למיתרים ישנם גודלי יסוד מזעריים שהם גבוליים - כלומר, בדידים^[63].

כבידה קוונטית לולאתית

תורת הלולאות הקוונטיות נוקטת גישה שונה וגורסת כי יש לבצע קוונטיזציה של הכבידה באופן חסר-רקע - כלומר, לתאר את הכבידה, עיקום המרחב, כפועל יוצא של מבנה קוונטי יסודי, חסר רקע (המתקיים על יריעה עירומה)^[64]. מאחר שהמטריקה - עקמומיות המרחב - מהווה חלק יסודי בחישובים של תורת השדות הקוונטיים, תורת הלולאות נדרשה לנסח מחדש את תורת השדות הקוונטיים עבור יריעה עירומה - ללא רקע.

באופן כללי, תורת הלולאות מניחה כבסיס שהמרחב אינו רציף, ותחת הצגת פתרון למשוואות תורת היחסות הכללית עבור כל נקודה ונקודה במרחב, היא מציגה פתרון רק לאורך לולאות במרחב. לפי תורת הלולאות הקוונטית, הלולאות עצמן הן הישויות היסודיות שיחסיהן קובעים את עקמומיות המרחב. המבנה המתמטי באמצעותו מיוצגות הלולאות נקרא רשת ספין - מבנה שהוצע על ידי המתמטיקאי רוג'ר פנרוז, כבסיס לתאוריה של כבידה קוונטית. מבנה זה מהווה למעשה שיטה גרפית לרישום כלל המצבים הקוואנטים השונים במרחב. בתורת הלולאות, רשת הספין מורכבת מצמתים וקשתות, כאשר הצמתים ברשת תואמים יחידות נפח ואילו הקשתות המחברות אותן תואמות יחידות שטח. המרחב לפי תורת הלולאות הקוונטית מחולק ליחידות בדידות של נפח ושטח, כאשר רשת הלולאות מהווה את המרקם הדינאמי ממנו הוא מורכב. לפי תורה זו, חלקיקים קוונטיים, או שדות אלקטרומגנטיים, יכולים להתקיים רק בצמתים, כאשר תנועתם במרחב מתבצעת בצעדים בדידים - מצומת לצומת, לאורך הקשתות - ובזמן בדיד. תכונות הרשת – מצבי התקשורת בין הצמתים - מגדירים את המצבים הקוונטים השונים ואת יחסיהם. בהינתן רשת ספין ישנה אפשרות לחשב את עקמומיות המרחב, ועל כן את הכבידה שעיקום זה יוצר. שינוי במרחב, אירוע, משמעו שינוי רשת הספין. תנועת החלקיקים והשדות הקוונטים במרחב כרוכה בסחרורם; תנועה זו משנה את תכונותיהם הקוונטיות, כמו גם את הגאומטריה של המרחב - כלומר, משנה את מערך רשת הספין ויחסי המרחק^[65]. בהוספת מימד הזמן - השינויים במרחב - מתקבלת תמונת המרחב-זמן, המרחב הארבע-ממדי, המבוטא באמצעות 'קצף הספין'. קצף הספין מייצג את המעברים בהם משתנות רשתות ספין - שינוי הקישוריות של רשתות הספין המרחביות -, ומיוצג על ידי צמתים שקשתותיהם נפגשות בקצף. לשיטת תורת הלולאות, כל חתך במרחב-זמן, הוא רגע בקצף ספין ומהווה רשת ספין. המרחב-זמן הקוונטי, לפי תורת הלולאות, הוא לפיכך לא חלק ולא רציף. זהו מבנה מורכב, שיסודותיו בדידים, המתואר באמצעות רשתות הספין וקצף הספין- מערכי רשתות הספין ודרכי שינויים^[65].

ראו גם

לקריאה נוספת

בראיין גרין, מארג היקום - מרחב, זמן ומרקם המציאות, הוצאת מטר, 2006.
רוברט פ' קריז, המשוואות הגדולות, הוצאת כתר, 2011, פרק 8.
פרופ' קירש יורם, בן-יעקב מיכל, ‏יסודות הפיזיקה ב (כרך 7), האוניברסיטה הפתוחה, 1998

Paul Ehrenfest (1920), "How do the fundamental laws of physics make manifest that Space has 3 dimensions?", Annalen der Physik 366: 440.
George F. Ellis and Ruth M. Williams (1992), Flat and curved space–times, Oxford University Press, ISBN 0-19-851164-7
Isenberg J. A. (1981), "Wheeler–Einstein–Mach spacetimes", Phys. journal ,Rev. D, volume 24, issue 2, pages 251–256
Immanuel Kant (1929), "Thoughts on the true estimation of living forces". in J. Handyside, trans., Kant's Inaugural Dissertation and Early Writings on Space, University of Chicago Press.
Hendrik Lorentz, Albert Einstein, Hermann Minkowski, and Hermann Weyl (1952), The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs. Dover.
Lucas, John Randolph (1973) A Treatise on Time and Space. London: Methuen.
Roger Penrose (2004), The Road to Reality, Oxford University Press, ISBN 0-679-45443-8 Chpts. 17–18.
Robb A. A. (1936), Geometry of Time and Space, Cambridge University Press.
Erwin Schrödinger (1950), Space–time structure, Cambridge University Press.
Schutz J. W. (1997), Independent axioms for Minkowski Space–time, Addison-Wesley Longman Press, ISBN 0-582-31760-6.
Tangherlini F. R (1936)., "Schwarzschild Field in n Dimensions and the Dimensionality of Space Problem", Nuovo Cimento journal, volume 14, issue 27, page 636.
Taylor E. F. and John A. Wheeler (1936), Spacetime Physics, W. H. Freeman Press, ISBN 0-7167-2327-1.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מרחב-זמן בוויקישיתוף

מרחב-זמן, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
מרחב וזמן, דף שער בספרייה הלאומית

Richard Phillips Feynman, Six Not So Easy Pieces, Published by 'Basic Books', a member of the Perseus Books Group. (מהרצאות פיינמן על פיזיקה).
Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Space and Time: Inertial Frames" by Robert DiSalle.

יואב בן-דב, כבידה ועיקום - תורת היחסות הכללית, בספר 'מבוא לפיזיקה: היסטוריה, תאוריות ומושגים'.
מאגר ידע, תורת היחסות - חלק 4, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 6 אפריל 2010
טרנספורמציות לורנץ במרחב מינקובסקי בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"
The fundamentals of space-time - סרטוני הסבר על יסודות המרחב-זמן: חלק 1, חלק 2 וחלק 3

הערות שוליים

^ בספרות המדעית העברית מכונה לעיתים גם "חלל-זמן".
^ עמוס הרפז, מושגים בתורת היחסות, הוצאת ספריית פועלים והוצאת הקיבוץ המאוחד, פרק ה', עמ' 51
^ Allen Catherine J., "When Utensils Revolt: Mind, Matter, and Modes of Being in the Pre-Columbian", 'Anthropology and Aesthetics journal', 1998, issue 33, pages 18–27
^ Joseph Louis Lagrange, "Theory of Analytic Functions" (1797, 1813)
^ "נאמר שלזמן יש ממד אחד בלבד ולמרחב שלושה ממדים... הקווטרניון המתמטי מערב את שני האלמנטים; אם משתמשים במונחים טכניים ניתן לכנות זאת 'זמן ומרחב', או 'מרחב וזמן': ובמובן זה לקווטרניון יש ארבעה ממדים, או שהוא לפחות מתייחס לארבעה-ממדים. כמו גם לצורה בה הממד האחד של הזמן והשלושה של המרחב, עשויים להיות חגורים בשרשרת הסימנים." מדברי המילטון, ראו: Geometric methods and applications: for computer science and" engineering",Jean H. Gallier, 2001, Chapter 8, page 249.
^ יובל נאמן, הפיזיקה של המאה העשרים, הוצאת משרד הביטחון, סדרת האוניברסיטה המשודרת, 1984, עמ' 29, הערה 9
^ journal, Minkowski,"Raum und Zeit", Physikalische Zeitschrift, volume 10, pages 75–88
^ שקולות - כבמקרה של צירי האורך, רוחב וגובה הפורשים את המרחב התלת-ממדי הקרטזיאני.
^ ראו: סטיבן הוקינג, עמודים 36–38
^ Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 17 באתר Bartleby.com
^ סטיבן הוקינג, קיצור תולדות הזמן, ספריית מעריב, עמוד 28-32
^ כהגדרה, מרחב שטוח הוא מרחב שניתן לתארו באמצעות מערכת קרטזית יישרת זווית, שמספר ציריה זהה למספר ממדי המרחב.
^ בהתקיים תכונה זו, לבחירה של ראשית הצירים וכיוונם אין משמעות מעבר לנוחות.
^ או יחידות cti כבמרחב מינקובסקי המקורי. ראו הסבר בהמשך, בהתייחסות לריבוע האינטרוול.
^ אחד הפוסטולטים המונחים בבסיס תורת היחסות הפרטית הוא פוסטולט 'אינוואריאנטיות מהירות האור', הקובע כי מהירות האור היא גודל גבולי וקבוע בכל מערכות הייחוס. את חוק הטבע הזה ביטאה התאוריה האלקטרומגנטית של מקסוול שנוסחה במאה ה-19, והוא הוכח מאוחר יותר בניסוי מייכלסון-מורלי. ראו, עמוס הרפז, עמ' 54.
^ הדיאגרמה מתארת תנועה על ציר מרחבי יחיד, תנועה חד-ממדית, ללא שינוי בצירי y ו-z, אך התיאור שהיא מציגה נותר כללי עבור כל תנועה מרחבית בקו ישר. ראו, עמוס הרפז 51
^ ראו, יובל נאמן, עמ' 24
^ מערכת ייחוס שבה מתקיימים שלושת חוקי התנועה של ניוטון, או בהגדרה אחרת, מערכת ייחוס שאינה מאיצה יחסית למערכת אינרציאלית אחרת
^ "אינווריאנטיות של תכונות גאומטריות של וקטורים מייצגת אינווריאנטיות של תכונות פיזיקליות של עצמים שאותן מייצגים הווקטורים". ראו, עמוס הרפז, עמ' 26
^ r הוא המרחק המרחבי המשוקלל.
^ במרחב מינקובסקי המקורי נעשה שימוש בציר זמן שיחידותיו הן $\ cti$ , כך שריבוע האורך של וקטור במרחב-זמן זה מייצג באופן טבעי את ריבוע האינטרוול. $i$ הוא היחידה המדומה, דהיינו מספר מדומה שהוא השורש של 1-.
^ ${\Delta S^{2}}$ יכול לקבל סימן פלוס או מינוס ולתאר אותה מערכת פיזיקלית בדיוק, כל עוד משתמשים באותה תוצרת סימון באופן עקבי. בחירת הסימון קובעת את סימני האינטרוולים דמויי המרחב והזמן - ראו, התייחסות בסעיפים הבאים.
^ עמוס הרפז, עמוד 48
^ ראו, עמוס הרפז (1988), עמוד 56
^ הטנזור המטרי מעניק למרחקים ולגדלים הפיזיקליים משמעות. הוא אשר קובע את יחסי המרחק במרחב עליו הוא מתייחס ומגדירו כמרחב מטרי. ראו, שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גליליאו 56, אפריל 2003
^ עמוס הרפז, עמוד 60
^ יובל נאמן, עמודים 9–28
^ עמוס הרפז, עמוד 68
^ קבוצת האיברים $\ ({\Delta r^{2}}+r^{2}{\Delta \theta ^{2}}+{\Delta z^{2}})$ מזוהה עם ריבוע המרחק במערכת גלילית תלת־ממדית, ועל כן הרכיב שציינו הוא אשר מבטא את תוספת השינוי הזוויתי ביחס לזמן
^ מסלול זה נקרא גיאודזיה, ראו הסבר בהמשך
^ באופן דומה, האורך של גופים המונחים על פני הדיסקה ישתנה ביחס למערכת החיצונית, כתלות במיקומו. לדוגמה, אורכו של גוף המונח על פני הדיסקה במקביל לכיוון התנועה יתכווץ ביחס לאורכו במערכת החיצונית, כתלות במיקומו (זאת מאחר שמהירות זוויתית משמעה מהירות שונה לכל רדיוס); בעוד אורכו של גוף המונח בכיוון רדיאלי לתנועה יוותר זהה.
^ אם נתייחס לכך שמהירות קווית במערכת הדיסקה, ניתנת לביטוי כמכפלת המהירות הזוויתית במרחק ( $v=\omega r$ ), נמצא כי: $(1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2})=1-v^{2}/c^{2}=1/\gamma ^{2}$ ; כאשר $\gamma$ הוא פקטור לורנץ אך במקרה זה אינו מהווה קבוע.
^ תוספת רכיבים מחוץ לאלכסון הראשי, משמעה שצירי המערכת אינם תמיד ניצבים זה לזה.
^ עמוס הרפז, עמודים 5–63
^ עמוס הרפז, עמוד 110
^ יובל נאמן, עמודים 30–31
^ שדה מעין זה קיים בקירוב באזורים קטנים במרחב; במובן זה, עקרון השקילות הוא עקרון מקומי.
^ לפני ניסוח תורת היחסות הכללית, ניסח ארנסט מאך טענה דומה בגרסו כי הכוחות האינרציאלים וכוחות הכבידה הם שניהם סוג של אינטראקציות בין מסות.
^ בהתאם לעקרון השקילות, כוחות הכבידה של מסות והכוחות הפועלים על גוף הנמצא במערכת מואצת, מהווים בתורת היחסות הכללית כוחות כבידה כלליים - שהם ביטוי לעקמומיות המרחב-זמן
^ הוקינג, עמוד 40
^ עמוס הרפז, עמוד 93
^ מעבר זה משימוש בקואורדינטות ברות החלפה, להתייחסות לגאומטריה הכללית (מכלול היחסים בין נקודות במרחב), מהווה צורה של יישום עקרון הקווריאנטיות.
^ "[היריעה] היא אוסף מסודר של נקודות אך ללא מידת מרחק פנימית. המשמעות היא שניתן לומר על נקודה א' שהיא משמאל לנקודה ב', אבל אין אפשרות למדוד את המרחק ביניהן. כדי לקבל מרחב בעל משמעות פיזיקלית יש להוסיף ליריעה מידע על יחסי המרחק בין הנקודות. המבנה המתמטי הנושא מידע זה נקרא המטריקה או הטנסור המטרי." שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003
^ תצורה זו אינה מכילה את הקבוע הקוסמולוגי, $\Lambda$ , שאינו תלוי בחומר אלא במרחב בלבד. התצורה המכילה את הקבוע היא: $R_{uv}-{\frac {1}{2}}g_{uv}R+g_{uv}\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{uv}$
^ לפיתוח המשוואה נעזר איינשטיין בתורת המשטחים של גאוס ובעבודתו של רימן בתחום. כלל משוואות תורת היחסות עושות שימוש בחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות
^ דו הסיטריות של המשוואה ואופיה מייצרים אי ליניאריות, שכן שינוי באגף האחד עשוי להתבטא בשינוי גדול באגף השני. למעשה המשוואה תקפה לתיאור מכלול של אפשרויות ושל מעבר ביניהן.
^ עמוס הרפז, עמוד 116
^ סטיבן הוקינג, 'קיצור תולדות הזמן', עמוד 37.
^ ניתן להתבונן בהשפעת הכבידה כבעיקום של ממש במרחב-על חמישה-ממדי, או רק כבשינוי יחסי הנקודות במרחב הארבעה-ממדי.
^ עמוס הרפז, עמודים 91–93
^ ראו Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 32 באתר bartleby.com
^ עמוס הרפז, עמוד 147
^ יובל נאמן, עמוד 34
^ יובל נאמן, עמוד 36
^ עמוס הרפז, עמודים 153, 156
^ סטיבן הוקינג, עמוד 53
^ האפשרות כי המרחב והזמן עשויים להיות סופיים ובה בעת חסרי גבולות, נשענת על מיזוג תורת היחסות הכללית ועקרון האי-ודאות של הייזנברג (מעקרונות תורת הקוונטים). סטיבן הוקינג, עמוד 52
^ בהקשר זה, ראו למשל חומר אפל
^ סטיבן הוקינג, עמודים 49–52
^ כגון, חורים שחורים- המהווים מופע של סינגולריות מקומית -, ושל היקום זמן קצר אחר המפץ הגדול, בעת שממדיו היו זעירים ביותר – מופע של סינגולריות גלובלית.
^ טנזור רימן, עקמומיות ומסה אינסופית הם הגדלים ההופכים בעייתיים במקרה של נקודות סינגולריות, בייצרן גדלים אינסופיים. ראו, שחר דולב, 'גלילאו' 56, אפריל 2003; אליהו זערור (עורך), 'הפיזיקה של המילניום', עמוד 169.
^ אליהו עוזרר, עמוד 171
^ ¹ ² שחר דולב, "על כבידה וקוונטים", גלילאו 56, אפריל 2003
^ ¹ ² Carlo Rovelli Quantum spacetime: what do we know, 1999, p. 8
^ ¹ ² לי סמולין, אטומים של מרחב וזמן, באתר סיינטיפיק אמריקן ישראל

ערך מומלץ

[1] בספרות המדעית העברית מכונה לעיתים גם "חלל-זמן".

[2] עמוס הרפז, מושגים בתורת היחסות, הוצאת ספריית פועלים והוצאת הקיבוץ המאוחד, פרק ה', עמ' 51

[3] Allen Catherine J., "When Utensils Revolt: Mind, Matter, and Modes of Being in the Pre-Columbian", 'Anthropology and Aesthetics journal', 1998, issue 33, pages 18–27

[4] Joseph Louis Lagrange, "Theory of Analytic Functions" (1797, 1813)

[5] "נאמר שלזמן יש ממד אחד בלבד ולמרחב שלושה ממדים... הקווטרניון המתמטי מערב את שני האלמנטים; אם משתמשים במונחים טכניים ניתן לכנות זאת 'זמן ומרחב', או 'מרחב וזמן': ובמובן זה לקווטרניון יש ארבעה ממדים, או שהוא לפחות מתייחס לארבעה-ממדים. כמו גם לצורה בה הממד האחד של הזמן והשלושה של המרחב, עשויים להיות חגורים בשרשרת הסימנים." מדברי המילטון, ראו: Geometric methods and applications: for computer science and" engineering",Jean H. Gallier, 2001, Chapter 8, page 249.

[6] יובל נאמן, הפיזיקה של המאה העשרים, הוצאת משרד הביטחון, סדרת האוניברסיטה המשודרת, 1984, עמ' 29, הערה 9

[7] urnal, Minkowski,"Raum und Zeit", Physikalische Zeitschrift, volume 10, pages 75–88

[8] שקולות - כבמקרה של צירי האורך, רוחב וגובה הפורשים את המרחב התלת-ממדי הקרטזיאני.

[9] ראו: סטיבן הוקינג, עמודים 36–38

[10] Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 17 באתר Bartleby.com

[11] סטיבן הוקינג, קיצור תולדות הזמן, ספריית מעריב, עמוד 28-32

[12] כהגדרה, מרחב שטוח הוא מרחב שניתן לתארו באמצעות מערכת קרטזית יישרת זווית, שמספר ציריה זהה למספר ממדי המרחב.

[13] בהתקיים תכונה זו, לבחירה של ראשית הצירים וכיוונם אין משמעות מעבר לנוחות.

[14] או יחידות cti כבמרחב מינקובסקי המקורי. ראו הסבר בהמשך, בהתייחסות לריבוע האינטרוול.

[15] אחד הפוסטולטים המונחים בבסיס תורת היחסות הפרטית הוא פוסטולט 'אינוואריאנטיות מהירות האור', הקובע כי מהירות האור היא גודל גבולי וקבוע בכל מערכות הייחוס. את חוק הטבע הזה ביטאה התאוריה האלקטרומגנטית של מקסוול שנוסחה במאה ה-19, והוא הוכח מאוחר יותר בניסוי מייכלסון-מורלי. ראו, עמוס הרפז, עמ' 54.

[16] הדיאגרמה מתארת תנועה על ציר מרחבי יחיד, תנועה חד-ממדית, ללא שינוי בצירי y ו-z, אך התיאור שהיא מציגה נותר כללי עבור כל תנועה מרחבית בקו ישר. ראו, עמוס הרפז 51

[17] ראו, יובל נאמן, עמ' 24

[18] מערכת ייחוס שבה מתקיימים שלושת חוקי התנועה של ניוטון, או בהגדרה אחרת, מערכת ייחוס שאינה מאיצה יחסית למערכת אינרציאלית אחרת

[19] "אינווריאנטיות של תכונות גאומטריות של וקטורים מייצגת אינווריאנטיות של תכונות פיזיקליות של עצמים שאותן מייצגים הווקטורים". ראו, עמוס הרפז, עמ' 26

[20] r הוא המרחק המרחבי המשוקלל.

[21] במרחב מינקובסקי המקורי נעשה שימוש בציר זמן שיחידותיו הן $\ cti$ , כך שריבוע האורך של וקטור במרחב-זמן זה מייצג באופן טבעי את ריבוע האינטרוול. $i$ הוא היחידה המדומה, דהיינו מספר מדומה שהוא השורש של 1-.

[22] ${\Delta S^{2}}$ יכול לקבל סימן פלוס או מינוס ולתאר אותה מערכת פיזיקלית בדיוק, כל עוד משתמשים באותה תוצרת סימון באופן עקבי. בחירת הסימון קובעת את סימני האינטרוולים דמויי המרחב והזמן - ראו, התייחסות בסעיפים הבאים.

[23] עמוס הרפז, עמוד 48

[24] ראו, עמוס הרפז (1988), עמוד 56

[25] הטנזור המטרי מעניק למרחקים ולגדלים הפיזיקליים משמעות. הוא אשר קובע את יחסי המרחק במרחב עליו הוא מתייחס ומגדירו כמרחב מטרי. ראו, שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גליליאו 56, אפריל 2003

[26] עמוס הרפז, עמוד 60

[27] יובל נאמן, עמודים 9–28

[28] עמוס הרפז, עמוד 68

[29] קבוצת האיברים $\ ({\Delta r^{2}}+r^{2}{\Delta \theta ^{2}}+{\Delta z^{2}})$ מזוהה עם ריבוע המרחק במערכת גלילית תלת־ממדית, ועל כן הרכיב שציינו הוא אשר מבטא את תוספת השינוי הזוויתי ביחס לזמן

[30] מסלול זה נקרא גיאודזיה, ראו הסבר בהמשך

[31] באופן דומה, האורך של גופים המונחים על פני הדיסקה ישתנה ביחס למערכת החיצונית, כתלות במיקומו. לדוגמה, אורכו של גוף המונח על פני הדיסקה במקביל לכיוון התנועה יתכווץ ביחס לאורכו במערכת החיצונית, כתלות במיקומו (זאת מאחר שמהירות זוויתית משמעה מהירות שונה לכל רדיוס); בעוד אורכו של גוף המונח בכיוון רדיאלי לתנועה יוותר זהה.

[32] אם נתייחס לכך שמהירות קווית במערכת הדיסקה, ניתנת לביטוי כמכפלת המהירות הזוויתית במרחק ( $v=\omega r$ ), נמצא כי: $(1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2})=1-v^{2}/c^{2}=1/\gamma ^{2}$ ; כאשר $\gamma$ הוא פקטור לורנץ אך במקרה זה אינו מהווה קבוע.

[33] תוספת רכיבים מחוץ לאלכסון הראשי, משמעה שצירי המערכת אינם תמיד ניצבים זה לזה.

[34] עמוס הרפז, עמודים 5–63

[35] עמוס הרפז, עמוד 110

[36] יובל נאמן, עמודים 30–31

[37] שדה מעין זה קיים בקירוב באזורים קטנים במרחב; במובן זה, עקרון השקילות הוא עקרון מקומי.

[38] לפני ניסוח תורת היחסות הכללית, ניסח ארנסט מאך טענה דומה בגרסו כי הכוחות האינרציאלים וכוחות הכבידה הם שניהם סוג של אינטראקציות בין מסות.

[39] בהתאם לעקרון השקילות, כוחות הכבידה של מסות והכוחות הפועלים על גוף הנמצא במערכת מואצת, מהווים בתורת היחסות הכללית כוחות כבידה כלליים - שהם ביטוי לעקמומיות המרחב-זמן

[40] הוקינג, עמוד 40

[41] עמוס הרפז, עמוד 93

[42] מעבר זה משימוש בקואורדינטות ברות החלפה, להתייחסות לגאומטריה הכללית (מכלול היחסים בין נקודות במרחב), מהווה צורה של יישום עקרון הקווריאנטיות.

[43] "[היריעה] היא אוסף מסודר של נקודות אך ללא מידת מרחק פנימית. המשמעות היא שניתן לומר על נקודה א' שהיא משמאל לנקודה ב', אבל אין אפשרות למדוד את המרחק ביניהן. כדי לקבל מרחב בעל משמעות פיזיקלית יש להוסיף ליריעה מידע על יחסי המרחק בין הנקודות. המבנה המתמטי הנושא מידע זה נקרא המטריקה או הטנסור המטרי." שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003

[44] תצורה זו אינה מכילה את הקבוע הקוסמולוגי, $\Lambda$ , שאינו תלוי בחומר אלא במרחב בלבד. התצורה המכילה את הקבוע היא: $R_{uv}-{\frac {1}{2}}g_{uv}R+g_{uv}\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{uv}$

[45] לפיתוח המשוואה נעזר איינשטיין בתורת המשטחים של גאוס ובעבודתו של רימן בתחום. כלל משוואות תורת היחסות עושות שימוש בחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות

[46] דו הסיטריות של המשוואה ואופיה מייצרים אי ליניאריות, שכן שינוי באגף האחד עשוי להתבטא בשינוי גדול באגף השני. למעשה המשוואה תקפה לתיאור מכלול של אפשרויות ושל מעבר ביניהן.

[47] עמוס הרפז, עמוד 116

[48] סטיבן הוקינג, 'קיצור תולדות הזמן', עמוד 37.

[49] ניתן להתבונן בהשפעת הכבידה כבעיקום של ממש במרחב-על חמישה-ממדי, או רק כבשינוי יחסי הנקודות במרחב הארבעה-ממדי.

[50] עמוס הרפז, עמודים 91–93

[51] ראו Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 32 באתר bartleby.com

[52] עמוס הרפז, עמוד 147

[53] יובל נאמן, עמוד 34

[54] יובל נאמן, עמוד 36

[55] עמוס הרפז, עמודים 153, 156

[56] סטיבן הוקינג, עמוד 53

[57] האפשרות כי המרחב והזמן עשויים להיות סופיים ובה בעת חסרי גבולות, נשענת על מיזוג תורת היחסות הכללית ועקרון האי-ודאות של הייזנברג (מעקרונות תורת הקוונטים). סטיבן הוקינג, עמוד 52

[58] בהקשר זה, ראו למשל חומר אפל

[59] סטיבן הוקינג, עמודים 49–52

[60] כגון, חורים שחורים- המהווים מופע של סינגולריות מקומית -, ושל היקום זמן קצר אחר המפץ הגדול, בעת שממדיו היו זעירים ביותר – מופע של סינגולריות גלובלית.

[61] טנזור רימן, עקמומיות ומסה אינסופית הם הגדלים ההופכים בעייתיים במקרה של נקודות סינגולריות, בייצרן גדלים אינסופיים. ראו, שחר דולב, 'גלילאו' 56, אפריל 2003; אליהו זערור (עורך), 'הפיזיקה של המילניום', עמוד 169.

[62] אליהו עוזרר, עמוד 171

[על_כבידה_וקוונטים-63] ¹ ² שחר דולב, "על כבידה וקוונטים", גלילאו 56, אפריל 2003

[arxiv-64] ¹ ² Carlo Rovelli Quantum spacetime: what do we know, 1999, p. 8

[סמולין-65] ¹ ² לי סמולין, אטומים של מרחב וזמן, באתר סיינטיפיק אמריקן ישראל

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]