Plus petit commun multiple

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En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple – en abrégé PPCM – (peut s'appeler aussi PPMC, soit « plus petit multiple commun ») de deux entiers non nuls a et b est le plus petit entier strictement positif qui soit multiple de ces deux nombres. On le note a ∨ b^[1] ou PPCM(a, b), ou parfois simplement [a, b]^[2].

On peut également définir le PPCM de a et b comme un multiple commun de a et de b qui divise tous les autres. Cette seconde définition se généralise à un anneau commutatif quelconque, mais on perd en général l'existence et l'unicité ; on parle alors d'un PPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans les anneaux intègres factoriels ou même seulement à PGCD.

Plus généralement, le PPCM se définit pour un nombre quelconque d'éléments : le PPCM de n entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif multiple simultanément de ces n entiers.

Définition

Soient a et b deux entiers relatifs :

si a ou b est nul, PPCM(a, b) = 0 ;
si a et b sont non nuls, considérons l'ensemble des entiers strictement positifs qui sont multiples à la fois de a et de b. Cet ensemble d'entiers naturels est non vide, car il contient |ab|. Il possède donc un plus petit élément, et c'est cet entier (strictement positif) que l'on appelle le PPCM de a et b :

\operatorname {PPCM} (a,b)=\min \left(\left\{m\in \mathbb {N} ^{*}\mid a|m~{\rm {et}}~b|m\right\}\right)

.

Calcul

À l'aide de la décomposition en facteurs premiers

La décomposition en facteurs premiers du PPCM de n entiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces n entiers, chacun affecté du plus grand exposant qui apparait dans celles-ci.

On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de nombres premiers.

Exemple

Prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers. On a :

60 = 2×2×3×5 = 2²×3×5 ;
168 = 2×2×2×3×7 = 2³×3×7.

Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a ainsi PPCM(60, 168) = 2³×3×5×7 = 840.

À l'aide du PGCD

Dès que l'un des deux entiers a ou b est non nul, leur plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant leur plus grand commun diviseur (PGCD)^[3] :

\operatorname {PPCM} (a,b)={\dfrac {|ab|}{\operatorname {PGCD} (a,b)}}

.

On en déduit aussi que l'existence d'un PGCD se déduit, ainsi que la formule, de celle d'un PPCM au sens fort, c'est-à-dire — cf. première propriété ci-dessous — d'un multiple commun qui divise tous les autres :

Démonstration^[4]

Définissons les entiers m et d par : m = PPCM(a, b) et d = |ab|/m. Alors, pour tout entier n,

n\mid a,b\iff nb,na\mid ab\iff b,a\mid ab/n\iff m\mid md/n\iff n\mid d

donc PGCD(a, b) = d.

Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD permet de calculer aussi le PPCM.

Exemple: Avec l'algorithme d'Euclide, calculons PGCD(60, 168) :
168 = 60 × 2 + 48
60 = 48 × 1 + 12
48 = 12 × 4 + 0.; Donc PGCD(60, 168) = 12 et PPCM(60, 168) = (60×168)/12 = 840.

Propriétés

Soient $a, b, c$ trois entiers naturels.

Les multiples communs à a et b sont les multiples de PPCM(a, b)^[3]
En particulier, $\operatorname {PPCM} (a,b)=a\iff b\mid a$
$\operatorname {PPCM} (a,b,c)=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PPCM} (a,b),c)=\operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PPCM} (b,c))$ (on peut étendre à un nombre arbitraire d'éléments)
$\operatorname {PPCM} (ac,bc)=c\operatorname {PPCM} (a,b)$ ^[3]
$\operatorname {PGCD} (a,\operatorname {PPCM} (a,b))=\operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PGCD} (a,b))=a$
$\operatorname {PGCD} (a,\operatorname {PPCM} (b,c))=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PGCD} (a,b),\operatorname {PGCD} (a,c))$
$\operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PGCD} (b,c))=\operatorname {PGCD} (\operatorname {PPCM} (a,b),\operatorname {PPCM} (a,c))$
$\operatorname {PGCD} (\operatorname {PPCM} (a,b),\operatorname {PPCM} (b,c),\operatorname {PPCM} (a,c))=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PGCD} (a,b),\operatorname {PGCD} (b,c),\operatorname {PGCD} (a,c))$ .

Les trois propriétés suivantes constituent une caractérisation fonctionnelle du PPCM^[5] :

$\operatorname {PPCM} (a,b)=\operatorname {PPCM} (b,a)$
$\operatorname {PPCM} (a,a)=a$
$(b-a)\operatorname {PPCM} (a,b)=b\operatorname {PPCM} (a,b-a)$ pour $b\geqslant a$

Notes et références

↑ Cette notation, utilisée plus généralement pour la borne supérieure dans les treillis ici celui de la divisibilité, sert également pour la disjonction logique.
↑ La notation correspondante pour le PGCD est (a, b).
↑ ^{a b et c} Pour une démonstration, voir par exemple « PPCM » sur Wikiversité (voir infra).
↑ (en) P. M. Cohn, « Bezout rings and their subrings », Proc. Camb. Phil. Soc., vol. 64,‎ 1968, p. 251-264 (lire en ligne) (p. 253).
↑ Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, Analyse, Ellipse, 2016, p. 126