めちゃくちゃ面白い！！！

問題概要 (意訳)

思いを寄せている先輩に $W$ 週後に告白したいので、その日までに先輩の好感度を最大化しておきたいです。最初、「所持金」と「好感度」はともに 0 です。毎週、以下のいずれかの行動を起こすことができます。

学校に行く：ただし、2 週連続で学校に行くことはできない。学校に行った次の日は、デートをしなければならない ( $W$ 週目は例外)
アルバイト：所持金が $a_{i}$ ( $i$ 週目の場合) 増える
デートする：学校に行った次の日の場合は、好感度が $b_{i}$ だけ増えて、所持金が $c_{i}$ 減る。そうでない場合は何も変化しない。

$W$ 週後には、所持金が 0 以上である必要がある。 $W$ 週後の好感度の最大値を求めよ。

制約

$1 \le W \le 52$

考えたこと

要するに、毎日以下の 2 通りのパターンがありうる

アルバイトする
その日学校行って、次の日にデートする

残り日数が $N$ 週である場合、前者は残り $N-1$ 週となって、後者は残り $N-2$ 週となることに注意する。よって、単純な全探索を行った場合の計算量を $T(N)$ とすると、

$T(N) = T(N-1) + T(N-2) + O(1)$

となって、これは実は $\gamma = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ として、 $T(N) = O(\gamma^{N})$ となる。 $O(2^{N})$ ではないのだ。 $\gamma = 1.618...$ くらい。

半分全列挙

あとは、部分和問題に対して半分全列挙をして $O(N 2^{\frac{N}{2}})$ とするように、この問題でも半分全列挙すれば $O(N \gamma^{\frac{N}{2}})$ となる。 $N \le 52$ より、十分間に合うのだ！！！！！面白い！！！！！

#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;

template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }

using pll = pair<long long, long long>;
const long long INF = 1LL<<60;
int N;
vector<long long> a, b, c;

// ma[所持金 down 分] = 好感度 up 分
void rec(int n, int finish, map<long long, long long> &ma, long long syoji = 0, long long love = 0) {
    if (n == finish) {
        chmax(ma[-syoji], love);
        return;
    }

    // アルバイト
    rec(n + 1, finish, ma, syoji + a[n], love);

    // 学校からのデート
    if (n + 2 <= finish) rec(n + 2, finish, ma, syoji - c[n+1], love + b[n+1]);
}

long long solve(int mid) {
    // 前半と後半
    map<long long, long long> former, latter;
    rec(0, mid, former);
    rec(mid, N, latter);

    // 後半の累積 max
    long long cur = -INF;
    map<long long, long long> maxlatter;
    maxlatter[-INF] = -INF;
    for (auto it : latter) {
        maxlatter[it.first] = max(cur, it.second);
        chmax(cur, it.second);
    }

    // まとめ
    long long res = 0;
    for (auto it : former) {
        long long need = -(it.first);
        auto it2 = maxlatter.upper_bound(need);
        --it2;
        chmax(res, it.second + it2->second);
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> N;
    a.resize(N), b.resize(N), c.resize(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
    cout << max(solve(N/2), solve(N/2+1)) << endl;
}

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yukicoder No.974 最後の日までに

問題概要 (意訳)

制約

考えたこと

半分全列挙