Explicit, optimal stability functionals and their application to cyclic discretization methods

Abstract

The present paper contains a stability concept for discretization methods of a certain, very general classM, which is optimal (in the sense of yielding the best general, two-sided error bounds) without being more restrictive than any of the classical stability definitions. The optimal stability functional Ψ_h related to it depends on the linear part of the discretization operator, and has the important property that Ψ_h [δ] may be of orderq+1, i.e. Ψ_h [δ] = O(h ^q+1), even if the local error δ only has orderq, δ = O(h ^q). This result may be used for the construction of methods with maximum order. Its application to linear cyclic methods, for example, furnishes a new approach to the theory of linearM-cyclick-step methods of maximum order.

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit enthält eine Stabilitätsdefinition für sehr allgemeine Diskretisierungsverfahren, die insofern optimal ist, als sie die besten, zweiseitigen Fehlerschranken ergibt, ohne dabei restriktiver zu sein, als die klassischen Stabilitätsdefinitionen. Das zugehörige optimale Stabilitätsfunktional Ψ_h hängt in einfacher Weise vom linearen Teil des Diskretisierungsoperators ab und hat die bemerkenswerte Eigenschaft, daß Ψ_h [δ] die Ordnung (q+1) haben kann, d. h. Ψ_h [δ]=O(h^q+1), auch wenn δ nur die Ordnungq hat. Notwendige und hinreichende Bedingungen hierfür werden abgeleitet. Dieses Ergebnis ist von praktischer Bedeutung bei der Konstruktion von Verfahren maximaler Konvergenzordnung. Insbesondere führt seine Anwendung auf lineare zyklische Verfahren zu einer neuen Darstellung der TheorieM-zyklischerk-Schrittverfahren und zu ihrem tieferen Verständnis.