kei********

2012/12/17 16:47

66回答

虚数とはなにですか。分かりやすくかつ詳しく教えてください。お願いします。

虚数とはなにですか。分かりやすくかつ詳しく教えてください。お願いします。

高校数学・44,401閲覧・xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">25

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sch********

2012/12/19 1:18

例えば、負の数を必要としない世界で、x+2=5 の答えは、3ですね。 x+5=2の答えは、「そんな数ない」です。 大昔、x^2=-4の答えは、必要ありませんでした。二次方程式でも、それは、必要としなかったのです。 ところが、3次方程式をとくにあたって、３つの実数解を求めいく途中で、2乗して負の数になる数字がどうしても必要になりました。詳しくは3次方程式の解の公式で検索してみて下さい。歴史的には、それが虚数の始まりです。決して二次方程式の解の必要性からではありませんでした。 ちなみに、iの定義は、i^2=-1であって、√-1=iではありません。高校までの数字教科書には、後者の定義？も載っていますが、便宜上そのように書くだけです。 (-i)^2=-1 になるので、√-1=-iと書いても矛盾は起こりません。

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sot********

2012/12/18 11:44（編集あり）

一般に、実数(有理数と無理数)は、二乗すると0以上になります。(特に、そのなかで、２乗して0になるのは0だけです。) ところがいろいろな計算をして行く過程で、二乗するとマイナスになるような数を扱う必要が出てきました。典型的な物は、以下の二次方程式の解です。 x^2 + x + 1 = 0 解を求めようとすると、{-1±√(-3)}/2と言う計算式が出現し、√(-3)と言う物を計算する羽目になります。 そこで、「二乗してマイナス1になる」という「あの世の世界の基本単位」を無理矢理ひねり出し、iと言う記号で表記することにしました。すなわち、i = √(-1)です。 iをつかうと、先ほどの計算式は、{-1±√3 i}/2、あるいは、-1/2±√3/2 i という具合になります。 このiを「虚数単位」と呼びます。まあ、ぶっちゃけ、「幽界の数の基本単位」という意味だと思えば良いです。そして、この「虚数単位」を含む数を、「虚数」と呼ぶのです。 「 a + bi 」のようなスタイルをした数を考えます。ここで、iは虚数単位。a, bは、それぞれ実数です。こういう数を、複素数と呼びます。複素数といっても素数が二つある訳じゃなくて、2つの要素から構成されている数という意味です。こうすると実数や虚数は、複素数の部分集合として表現されます。すなわち、 (i) a + biで、b = 0…この数は実数です。 (ii) a + biで、b≠0…この数は虚数です。 （iii) a + biで、a= 0 かつ b≠0…この数も虚数です。こういう虚数を特に「純虚数」と呼ぶこともあります。 （iv) a + biで、a= 0 かつ b= 0…実数です。ゼロです こんな幽霊世界の得体の知れない数なんか作って、方程式の解でルートの中がマイナスになったとき以外、何か使い道があるのか?と思われるかもしれませんが、実は色々あります。なかでも特徴的なのが、虚数単位を使うと三角関数が指数関数になってしまうのです。詳細は省略しますが、これが非常に便利。三角関数は振動と密接な関係があり、交流電気を解析するときなどに頻繁に使われるのですが、これを虚数を利用して指数関数で表現すると、非常に簡潔で統一のとれた表現になります。そんなわけで、虚数は、工学などでは非常に役に立つアイテムとして扱われます。

yuki_math

2012/12/17 19:09

1+i は虚数ですけど2乗しても負になりませんよ ・虚数とは何か 実数a,bと虚数単位iを用いてa+biと表される数（ただしb≠0） これが一番簡単な説明じゃないですかね （余談） 実数だけで考えると簡単な二次方程式x^2+1=0すら解けないし、3次方程式の解の公式を導出しようとすると（実数解しかなくても）虚数が必ず出てくる 虚数の考えが生まれた当時はそんな数あるわけないけど計算するのに使うと便利、くらいにしか思われてなかったかもしれませんね だからimaginary numberと呼ばれているわけですが でも今の数学は虚数なしじゃ考えられないですよ

mak********

2012/12/17 18:22

虚数を2つかけあわせるとマイナスとなる数です。 普通、 (正=プラス、負=マイナス) 正x正=正 正x負=負 負x負=正 となります。 正x負=負となりますが、正でもあり負でもある数は存在しません。 (0はどちらでもない) よって、虚数は存在しません。

ちこりん

2012/12/17 17:02

２乗したら負になる数です。 そんな数、実世界ではありえないので、嘘の数、虚数なんですよ。

kaz********

2012/12/17 16:49

二乗したら負になる数です。 これ以上説明しきれないと思います