1149864517さん 2025/1/22 22:04
f(x,y)
=|xy|ᵅ log√(x²+y²)/√(x²+y²)〔(x,y)≠(0,0)〕
=0 〔(x,y)=(0,0)〕
a) A=lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y) ← 極座標変換
=|cosθsinθ|ᵅ lim[r→+0] r²ᵅ⁻¹ logr
=|cosθsinθ|ᵅ lim[r→+0] rᵏ logr
2α-1=k(>-1) と置いた
k=0 のとき A=-∞
k>0 のとき
lim[r→+0] rᵏ logr
=lim[r→+0]logr/r⁻ᵏ
∞/∞ の不定形。ロピタルの定理
=-1/k lim[r→+0]rᵏ =0
∴A =0
-1<k<0のとき
lim[r→+0]logr/r⁻ᵏ=-∞
A=-∞
よって α>1/2 のとき
lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y)=f(0,0)
となり、すべての点で連続
0<α≦1/2 のとき(0,0)以外のすべての点で連続
b) 偏微分可能の意味か全微分可能の意味か不明
偏微分可能性を調べたいなら
fx(0,0)=lim[h→0]{f(h,0)-f(0,0)}/h (y を固定)
fy(0,0)=lim[h→0]{f(0,h)-f(0,0)}/h (x を固定)
これらの極限値が存在するか調べればいい
=|xy|ᵅ log√(x²+y²)/√(x²+y²)〔(x,y)≠(0,0)〕
fx(0,0)=lim[h→0]|0h|ᵅ log|h|/|h|h=0
fy(0,0)=0
よって偏微分可能
全微分可能性なら
B=lim[(x,y)→(0,0)]{f(x,y)-f(0,0)-x*fx(0,0)-y*fy(0,0)}/√(x²+y²)
この極限値が0かどうか調べればいい。
f(0,0)=fx(0,0)=fy(0,0)=0であるから
B=lim[(x,y)→(0,0)]|xy|ᵅ log√(x²+y²)/(x²+y²)
極座標変換して (a) と同様に調べる