まず、ラグランジュの式の作り方 h(x,y,λ)=(極値を求めたい式)-λ(条件式) なので、 h(x,y,λ)=xy-λ(2x²+y²-1) xで偏微分して、hx=y-4λx yで偏微分して、hy=x-2λy λで偏微分して、hλ=2x²+y²-1 これらがすべて=0になる変数の値を求める。 つまり、 y=4λx x=2λy 2x²+y²=1 を満たせば良い。 hx,hyより、 x=8λ²x ここで、x=0のときy=0になり、第三式が成立しないため除外。 よって、1=8λ² λ=±1/2√2 次に、第一式を第三式に代入して、 2x²+(4λx)²=1 2x²+16λ²x²=1 λを代入して、 2x²+2x²=1 4x²=1 x=±1/2 あとは、これを第一式に代入して、 y=4xλ y=4*±1/2*±1/2√2 より、y=±1/√2 よって、極値の候補は、 (0.5,1/√2),(-0.5,1/√2),(-0.5,-1/√2),(0.5,-1/√2) この四点が候補になります。 (2)説明は収まりきらないので、 https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-analysis21 をみてほしいのですが、 今回の図形は、ax²+bx²=1の形なので、楕円形という、有限閉空間になります。 よって、極値二代入すれば、必ず極大値、極小値が求まります。 今回は、座標の要素が2つとも正である点なので、(0.5,1/√2) 実際に代入してみて、 xy=1/2*1/√2=1/2√2 他の点は、1/2√2、-1/2√2なので、４つの点の中で最大の答えを出す点の一つである(0.5,1/√2)は極大値であることがわかりました。