・まず、位相空間(X, O)における任意の2点x, yを選びます。 ・x = yの場合は自明的に弧状連結です。 ・x ≠ yの場合、X = {1, 2, 3}なので、次の3通りに分けて考えます。 (1) x = 1, y = 2のとき {1}, {1, 2}がOに含まれるので、1と2を結ぶ連続写像f: [0, 1] → Xが存在します。 具体的には、f(t) = 1 (0 ≤ t ≤ 1/2), f(t) = 2 (1/2 < t ≤ 1)とすれば良いです。 (2) x = 1, y = 3のとき {1}, {1, 3}がOに含まれるので、1と3を結ぶ連続写像が存在します。 (3) x = 2, y = 3のとき {1, 2}, {1, 3}, Xがすべてに含まれるので、2と3を結ぶ連続写像が存在します。 以上より、任意の2点x, yに対して連続写像f: [0, 1] → Xが存在するので、位相空間(X, O)は弧状連結であることが示されました。