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位相についての問題です。 「X={1,2,3},位相O={∅,{1},{1,2},{1,3},X}とする。 位相空間(X,O)は弧状連結であることを示せ。」 分からないので解いて欲しいです。
位相についての問題です。 「X={1,2,3},位相O={∅,{1},{1,2},{1,3},X}とする。 位相空間(X,O)は弧状連結であることを示せ。」 分からないので解いて欲しいです。
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回答（2件）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14306846604
{1,2,3}の元それぞれを結ぶpathの存在を言えばよいです。 同じ元同士はf(x)=1とかの恒等写像でよいので、異なる元同士について考えると、 例えば1と2をつなぐpathは f(x)=1(0≦x<1), f(1)=2 などがあり(これの連続性は自分で確かめましょう。) 同様にf(x)=1(0≦x<1), f(1)=3とすればfは1から3へのpathとなります。 1から2へのpathと1から3へのpathをつなげれば2から3へのpathも作れます。 以上により、(X,O)は弧状連結です。
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AIからのお助け回答
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14306846604
Claude 3（Anthropic）
・まず、位相空間(X, O)における任意の2点x, yを選びます。 ・x = yの場合は自明的に弧状連結です。 ・x ≠ yの場合、X = {1, 2, 3}なので、次の3通りに分けて考えます。 (1) x = 1, y = 2のとき {1}, {1, 2}がOに含まれるので、1と2を結ぶ連続写像f: [0, 1] → Xが存在します。 具体的には、f(t) = 1 (0 ≤ t ≤ 1/2), f(t) = 2 (1/2 < t ≤ 1)とすれば良いです。 (2) x = 1, y = 3のとき {1}, {1, 3}がOに含まれるので、1と3を結ぶ連続写像が存在します。 (3) x = 2, y = 3のとき {1, 2}, {1, 3}, Xがすべてに含まれるので、2と3を結ぶ連続写像が存在します。 以上より、任意の2点x, yに対して連続写像f: [0, 1] → Xが存在するので、位相空間(X, O)は弧状連結であることが示されました。
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