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SUPER 3.0 RZ

2024/11/16 1:11

22回答

思い付きでゴメンナサイ YouTubeで虚数に関する動画を見ていて思いついたのですが、複素数の複素数乗という考えはあるのでしょうか

思い付きでゴメンナサイ YouTubeで虚数に関する動画を見ていて思いついたのですが、複素数の複素数乗という考えはあるのでしょうか

数学 | 大学数学・33閲覧

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回答（2件）

das********

2024/11/16 1:34

あります。 ただし、複素数の複素数乗は、1つの数には定まりません。 まず、複素数の対数を考えます。 z = re^(θi) (r,θは実数で、r>0) のとき、 log z = log (re^(θi)) = log r + (θ+2nπ)i (nは任意の整数、logrは実数での対数) です。 偏角に2nπを足してもzは同じ値になるので、2nπを付ける必要が出てきます。 これを使って、複素数z,wに対して、 z^w = e^(w log z) と定義されます。 log zが1つに定まらないので、z^wも1つには定まりません。 1つ具体例を計算すると、 i^i = e^(i log i) = e^(i・(π/2+2nπ)i) (nは任意の実数) = e^(-π/2-2nπ) になります。 n=-1なら、i^i = e^(-π/2+2π) = 111.31777… n=0なら、i^i = e^(-π/2) = 0.20787957… n=1なら、i^i = e^(-π/2-2π) = 0.00038820320… という値ですね。 ちなみに、n=0のときの値を主値と言ったりします。 i^iの主値は0.20787957… ということです。

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