brz********

2024/11/14 19:26

55回答

ルートの積分についてわかりません。 赤線部のようになるのは何故ですか。

ルートの積分についてわかりません。 赤線部のようになるのは何故ですか。

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数学 | 高校数学・43閲覧

ベストアンサー

kj_********

2024/11/15 0:50

x = t-1/t (t＞0)とおくと、‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① √(x^2+4) = √((t-1/t)^2+4) = √((t+1/t)^2) = t+1/t だから、 ‥‥② ● ∫√(x^2+4) dx = ∫(t+1/t) (1+1/t^2) dt = ∫(t+1/t) (t+1/t)(1/t) dt = ∫(t^2 + 1/t^2 + 2)(1/t) dt = ∫(t + 1/t^3 + 2/t) dt = ∫(1/2)(2t + 2/t^3 + 4/t) dt = (1/2)(t^2 - 1/t^2 + 4 log(t)) + C1 ← t>0だからlog|t|にしなくていい = (1/2)((t-1/t)(t+1/t) + 4 log(((t-1/t)+(t+1/t))/2)) + C1 = (1/2){x√(x^2+4) + 4 log((x+√(x^2+4))/2)} + C1 ←…①②を使った = (1/2){x√(x^2+4) + 4 log(x+√(x^2+4))} - 2 log(2) + C1 = (1/2){x√(x^2+4) + 4 log(x+√(x^2+4))} + C 。 [補足] √(x^2+4) の方が x の絶対値より絶対に大きいから、 x+√(x^2+4) が負になることはないので、 log|x+√(x^2+4)| にする必要はなく、 log(x+√(x^2+4)) にしていい。

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

みなさんありがとうございました！

お礼日時：11/15 1:23

その他の回答（4件）

AI

2024/11/14 20:01

部分積分より A=x√(x²+4)-∫{(x+4)-4}/√(x²+4) dx =x√(x²+4)-A+∫4/√(x²+4) dx A=1/2*{x√(x²+4)+4∫dx/√(x²+4)} ここで ∫dx/√(x²+4) t=x+√(x²+4)と置く (t-x)²=(x²+4) あとは頑張る もしくは t={e^(t)-e^(-1)}/2 (=sinhx) で置換。 ∫dx/√(x²+1)でも ∫√(x+1)² dxでも 上手くいきます。

mas********

カテゴリマスター

2024/11/14 20:00

∫√x^2+4dx √x^2+4=t-x dx=(t^2+4)/2t^2 √x^2+4=(t^2+4)/2t =∫(t^2+4)/2t・(t^2+4)/2t^2dt ∫t/4+2/t+4/t^3dt =t^2/8+2logt-2/t^2 =2log|x+√x^2+4|+(x+√x^2+4)^2/8-2/(x+√x^2+4)^2 =2log|x+√x^2+4|+1/2(x√x^2+4)

ehe********

2024/11/14 19:58

x + √ ( x^2 + 4 ) = t とおくか、 次の手を使う。 部分積分法 ∫ √ ( x^2 + 4 ) dx = x √ ( x^2 + 4 ) - ∫ x ( √ ( x^2 + 4 ) ) ' dx = x √ ( x^2 + 4 ) - ∫ x ・ x / √ ( x^2 + 4 ) dx = x √ ( x^2 + 4 ) - ∫ ( x^2 + 4 - 4 ) / √ ( x^2 + 4 ) dx = x √ ( x^2 + 4 ) - ∫ √ ( x^2 + 4 ) dx + 4 ∫ 1 / √ ( x^2 + 4 ) dx 右辺の ー∫ √ ( x^2 + 4 ) dx を 移行して 2 ∫ √ ( x^2 + 4 ) dx = x √ ( x^2 + 4 ) + 4 ∫ 1 / √ ( x^2 + 4 ) dx ここで ∫ 1 / √ ( x^2 + 4 ) dx は x = 2 tan y とおいて 置換積分してみよ。

mat********

2024/11/14 19:41

そもそもこんな簡単にできる計算ではない。 この模範解答はこういう公式として変形しているものと思われる。 この前のページで既出のものではないだろうか。