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2024/11/14 18:26

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数学の質問です。 a^3=b^3 ⇄a=b は、成り立ちますか？ 証明をお願いします

数学の質問です。 a^3=b^3 ⇄a=b は、成り立ちますか？ 証明をお願いします

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匿

カテゴリマスター

2024/11/14 18:32

a³=b³ a³-b³=0 (a-b)(a²+ab+b²)=0 a²+ab+b²=0 a²+ab=-b² a²+ab+(b/2)²=-b²+(b/2)² (a+b/2)²=-(4b²-b²)/4              =-3b²/4 a+b/2=±√3ib/2 a=(-b±√3ib)/2   =(-1±√3i)b/2 a=b または、 a=(-1±√3i)b/2 の時に成り立つ。 a,bが実数でなければ「偽」

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質問者2024/11/17 21:19

回答ありがとうございます。 実数の時は常に成り立つということですね。 式で考えてみても、グラフで考えてみても確かに実数のとき成り立つことが納得いきました。ありがとうございました

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a^3=b^3 ⇄ a=bは、一般には成り立ちますが、aとbが実数である場合に限ります。a^3=b^3が成り立つためには、aとbが同じ値でなければなりません。具体的には、a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)という形で表せます。a≠bのとき、a^3-b^3は0にならないため、a^3=b^3は成り立ちません。したがって、a=bのときのみ等号が成り立ちます。

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a^3=b^3 ⇄ a=b は成り立ちません。 ・a^3=b^3 のとき、a=bとは限らない。 例えば、a=2、b=-2のとき、2^3=(-2)^3=8となり、a^3=b^3が成り立つが、a≠bである。 ・逆に、a=bのとき、a^3=b^3が成り立つことは明らかです。 したがって、a^3=b^3 ⇄ a=b は双方向の条件が成り立たないため、等値関係ではありません。 証明: a^3=b^3 とする。 a=b と仮定すると、 a^3=(a)^3=b^3 したがって、a=bならばa^3=b^3が成り立つ。 しかし、逆に a^3=b^3 と仮定しても、 a=b とは限らない。 なぜなら、a≠bでも a^3=b^3 となる場合があるからです(上の例を参照)。 よって、a^3=b^3 ⇄ a=b は成り立ちません。

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