数学の問題がわかりません。 数列の問題なのですが、(2)が分かりません。 誰かお願いします。
数学の問題がわかりません。 数列の問題なのですが、(2)が分かりません。 誰かお願いします。
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https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14306644159
a₁=2 aₙ₊₁=2aₙ+1 (2) 与えられた漸化式より、aₙ>0であればaₙ₊₁>aₙ>0であるから、a₁>0よりすべての自然数nについてaₙ₊₁>aₙ が成り立つ。よって Sₙ=-∫ₐ₍ₙ₎ᵃ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x-aₙ)(x-aₙ₊₁)dx =(1/6)(aₙ₊₁-aₙ)³ ここで、与えられた漸化式より aₙ₊₁=2aₙ+1 aₙ₊₂=2aₙ₊₁+1 であるから、これらについて辺々差をとると aₙ₊₂-aₙ₊₁=2(aₙ₊₁-aₙ) (aₙ₊₂-aₙ₊₁)³=8(aₙ₊₁-aₙ)³ (1/6)(aₙ₊₂-aₙ₊₁)³=8·(1/6)(aₙ₊₁-aₙ)³ ∴ Sₙ₊₁=8Sₙ ゆえに数列{Sₙ}は公比8の等比数列である。
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お礼日時：11/15 9:21
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(1) a[n+1]+1=2(a[n]+1) より a[n]=(a[1]+1)*2^(n-1)-1=3*2^(n-1)-1 (2) 6分の 1 公式より S[n]=(a[n+1]-a[n])^3/6 ここで，a[n+1]-a[n]=(3*2^n-1)-{3*2^(n-1)-1}=3{2*2^(n-1)-2^(n-1)}=3*2^(n-1) S[n]={3*2^(n-1)}^3/6=9*2^(3n-4) S[n+1]=9*2^{3(n+1)-4}=9*2^3*2^(3n-4) S[n+1]/S[n]=2^3=8 (一定) だから S[n] は公比 8 の等比数列
[別解] a[n+1]=2a[n]+1 より a[n+2]=2a[n+1]+1 よって a[n+2]-a[n+1]=2(a[n+1]-a[n]) (a[n+2]-a[n+1])^3=8*(a[n+1]-a[n])^3 S[n+1] =8*S[n]
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