>在職証明書は過去勤めた会社全て提出
公務員の社会人採用は、過去の職歴に応じて給与額が加算されます。
民間企業に正社員で何年いたからいくら、財団法人に何年いたからいくら、というように。
給与も税金が原資の公金ですから証明として在職証明書が求められます。
「過去勤めた会社全て提出」ではなく、直近何年間かが対称なので、必ずしも詐称を暴く目的というよりは単純に給与の加算額の計算のためです。
もしここで働いてもいない会社に勤めたかのように詐称していると、その分給与が加算されることになるので、単なる経歴詐称に留まらず、公金を搾取しようとしたことになるのでまず採用はないでしょう。
質問者さまの場合は、逆に半年間の会社に勤めていたことを隠したので、給与の搾取にはなりませんが、考え方としては同じです。
(たとえば高卒なのに大卒と書いてもいけませんが、大卒なのに高卒としても取り扱いは同じです)
とるべき選択肢は2つです。
(1)採用取り消しは覚悟の上で「直近の会社を書き忘れていた」と事前に申告すること。
(2)採用を辞退する。
このまま黙って採用されることはいちばん危険です。採用後にバレたら懲戒です。
そして実はそれは必ずバレます。
もしもチェックが甘くて採用されたとしても、採用後は雇用保険被保険証を提出することになります。これは民間でもそうです。
そこには直近の会社名、雇用期間が書かれており、質問者さまの場合は半年の会社が発行したものしかないはずです。
また働き始めるのが来年の1月1日以降であれば不要ですが、今年の1月1日の時点で直近の会社に勤めていた場合は源泉徴収票も求められこれも前職の会社しか発行できないものなので同様です。