関係代名詞という指摘はおしいです。
結論から言います。
接続詞です。
ここから蛇足混じりの解説です。
as~asの同等表現における前のasは前置詞で、後ろは接続詞で両方共「同様に」という意味がある、という話があります。
例文をひとつ上げてみましょう。
A is as tall as B.
この文の後ろには
is tall
が隠れていてつまり
A is as tall as B is tall.
が元々の形です。
そして「as the original (has)のような語句が省略されていて」は正解です。
(どんな言語でも一度言ったことは省いてしまおうという傾向がありますね)
これを直訳すると
『Aは同様に高い、Bが高いのであるのと同様に』
となり要は、
『AはBと同じくらい高い。』
という文になります。
そして別に二度「同様に」と言う必要は無いので、二つの文をつなげる働きを持っている後ろのasを残すと
A is as tall as B. → A is tall as B.
と、無事に前のasがなくなりました。
もう一つ例を上げましょう。
『AはBと同じくらいCDを持っている』という文です。
この時、
A has CD's as many as B.
とはならず
A has as many CD's as B.
となります。
なぜそうなるかというと、後ろの文章を取っ払ったときにこうなるからです。
A has CD's as many as B. → A has CD's many.
A has as many CD's as B. → A has many CD's.
どっちが正しいかは一目瞭然ですね。
英語で形容詞(副詞)は名詞の前に置くのですから、元の文に戻したときに「CD's many」のようになってはいけないのです。
同じように比較文では形容詞の後に名詞を移動させるというのを覚えていてください。
さて最終的にはどうなるかという話ですが
It has the same DNA as the original.
は上記のas~asの前のasが略されていたとすると、
It has as the same DNA as the original(has DNA).
という文だったと考えられます。
直訳すると
『それは同様に同じDNAを持っている、オリジナルが持っているDNAと同様に。』
となり要は
『それはオリジナルと同じDNAを持っている。』
という意味になります。
ちなみにthe same DNAのthe は DNAにかかっているので句としては形容詞+名詞の形だと考えられます。
というわけで解説を終わります。
ありがとうございました。