白いのは『フジコナカイガラムシ』で、黒いのは、その虫の排泄物に発生したカビ（すす病）です。 対策は、カイガラムシを防除することです。 農家であれば、３月の石灰硫黄合剤、５月～８月まで他の害虫と同時に防除するため、殺虫剤を散布していますが、庭の柿なので、５月の発芽した頃と、６月、８月の３回、防除すれば良いと思います。６月と８月はカキノヘタムシと同時に防除できる殺虫剤が良いです。 また、カイガラムシは、柿の幹の粗皮の隙間で越冬しますので、１月や２月の寒い時期に、隙間で越冬しているカイガラムシを落としてしまえば、大丈夫ですが、手間が掛かりますし少し難しいと思います。 【補足】 ５月の発芽頃（新芽が出てきてから）に使用する農薬は、庭なので、臭いのきつい有機リン系（スミチオン、スプラサイド等）を使うより、ネオニコチノイド系の殺虫剤を使うのが良いかと思います。 カキに登録があり、カイガラムシとヘタムシに効果がある農薬（ネオニコチノイド系）は、ﾊﾞﾘｱｰﾄﾞ顆粒水和剤、ｽﾀｰｸﾙ顆粒水溶剤、ｱﾙﾊﾞﾘﾝ顆粒水溶剤、ﾍﾞﾆｶ水溶剤、ﾓｽﾋﾟﾗﾝ水溶剤等があります。 参考の画像をつけ忘れてました。 http://www.pref.wakayama.lg.jp/prefg/070109/kakimomo/byotyu/kaki/hujikona/hujikona.html また、同様の質問がありました。同じ症状ですね。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1370790668