はーいo(^-^)o (1) f'(x)で増減を、f''(x)でカーブのかたちと変曲点を調べましょうo(^-^)o f'(x)=｛(log(x))'*x-(x)'*(log(x))｝/x^2 .......=｛1-log(x)｝/x^2 f''(x)=[｛1-log(x)｝'*(x^2)-(x^2)'*｛1-log(x)｝]/x^4 ........=｛2log(x)-3｝/x^3 じゃあ、増減表をかきましょうo(^-^)o x.........0..................1....................e..................e^(3/2)..................∞ f''(x)........................................－...........................0...........＋...... f'(x).......................＋....................0......................－..................... f(x)...-∞..(上凸↑)..0..(上凸↑)..極大..(上凸↓)..変曲点..(下凸↓)...+0 ☆ x軸との交点は(1, 0) ☆ 極大値をとる点は(e, 1/e) ☆ 変曲点は(e^(3/2), (3/2)e^(-3/2)) ☆ lim[x→∞](log(x)/x)=0 をもとめるのに、ロピタルの定理を使ってもいいって思います(^0^)/ log(x)→∞、x→∞より、 lim[x→∞](log(x)/x)=lim[x→∞](log(x))'/(x)' .......=lim[x→∞](1/x)/1=0 なのでx軸が漸近線です。 こんな感じですねo(^-^)o **************************** (2) 1から順に入れていって、あきらかに n=2, 4だけですよね(^0^) *************************************** (3) (証明) (1)の結果を利用しましょう(^0^)/ 2^x=x^2...(x>4)...................① を満たすxがないことを示しましょうo(^-^)o (xが自然数じゃなくっても、やっぱりないです(^^;...) 両辺の対数をとって、 xlog(2)=2log(x) よって、 log(x)/x=log(2)/2 この左辺は(1)のf(x)ですね(^0^)/ で、(1)のグラフから、x=4はもう、f(x)が極大値をとるx座標のeを とっくに過ぎていて、「ただいま減少中」(^0^)で∞までいくので、 f(x)<f(4)...(for ∀x>4) ですよねo(^-^)o なので、f(x)がx>4でふたたびf(4)と同じ値をとることはありません。 よって4より大(5以上)の自然数で①が成立することはあり得ません(^^; なお、n=1と3で成立しないのはあきらかです(^0^)...........(証明終わり) (1)は(3)の大ヒントでした(^0^)/ ********参考************************** 変曲点は結局、必要なかったんですけど(^^;、わたし、前に知恵袋で東大の数学 の先生が入試の採点をされるときのお話の記事を紹介していただきました。↓↓ http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1040023905 記事によると、グラフが上に凸の場所なのに直線に書いたり下に凸に書いたりすると、採点する先生も 「そういう仕打ちには怒る(*_*)」 らしいですので、f''(x)くらいは調べておいたほうが無難って思います(^^; 極大極小もほんとうは、テイラー展開の2次の項をラグランジュの剰余項にして考えるわけですからねo(^-^)o (理論： 極値では展開式の1次の項は消えて、2次の項の符号は完全にf''に依存するので、x座標をわずかにずらした場所のy座標と、極値のy座標(0次の項です (^0^))との大小は、左にずらせばこうなって、右にずらせばこうなります、、、) っていう感じですねo(^-^)o