背理法を使います。 「√３が有理数である」と仮定すると、自然数ｍ，ｎを用いて √３＝ｍ／ｎ・・・① と書けます。このとき、ｍ／ｎは既約分数（約分できない分数）です。 ①より、（√３）ｎ＝ｍ 両辺を２乗して ３ｎ＾２＝ｍ＾２・・・② このことから、ｍ＾２は３の倍数と言える。つまり、ｍも３の倍数である。 ここで、ｍ＝３ｋ （ｋは自然数）と表されるから、②にだいにゅうして、 ３ｎ＾２＝９ｋ＾２ ｎ＾２＝３ｋ＾２ よって、ｎ＾２は３の倍数となり、ｎも３の倍数となります。 すると、ｍ，ｎ共に３の倍数となり、ｍ／ｎは３で約分できることになり、最初にｍ／ｎを既約分数としたことと矛盾します。 よって、√３は有理数ではなく、無理数となります。 有理数＋有理数が有理数になることは、ｍ，ｎ，ｓ，ｔを整数とし、 有理数をそれぞれｍ／ｎ，ｓ／ｔとおくと、 ｍ／ｎ＋ｓ／ｔ＝（ｍｔ＋ｓｎ）／ｎｔ 整数×整数＝整数，また、整数＋整数＝整数なので、 ＝整数／整数 となり、有理数になります。 このような証明でよいですか？