1153002561

2024/11/25 0:34

33回答

次の微分方程式の解き方を教えてください ①(D^4−2D^3+2D−1)y=0の一般解を求めよ ②(D^2−D+1)y=x^3の特殊解をひとつ、演算子法を用いて求めよ。

次の微分方程式の解き方を教えてください ①(D^4−2D^3+2D−1)y=0の一般解を求めよ ②(D^2−D+1)y=x^3の特殊解をひとつ、演算子法を用いて求めよ。 ③（Ｄ^3－3Ｄ−2)y=e^2xの特殊解をひとつ、演算子法を用いて求めよ。 ④(D^2−D+5)y=sin(2x+1)の特殊解をひとつ、それぞれ次の方法で求めよ。 (1) 未定係数法 (2) 演算子法 詳しい計算過程まで知りたいです。宜しくお願いします。

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ベストアンサー

mas********

カテゴリマスター

2024/11/25 13:44

(1) ちゃんと指定した方法で解く (d-1)^3(d+1)=0 より (演算子法) y=c1e^-x+(c2+c3x+c4x^2)e^x (2) 1/d^2-d+1・x^3=x^3+3x^2-6 (逆演算子法) (3) 1/d^3-3d-2・e^2x=1/9xe^2x (逆演算子法) (4) 1/d^2-d+5・sin(2x+1)=2/5cos(2x+1)+1/5sin(2x+1)(逆演算子法) 未定係数法は略

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その他の回答（2件）

マテマテカ国への高速道路？

2024/11/25 7:17

. . 微分方程式 ① (D⁴−2D³+2D−1)y=0 f(D)=D⁴−2D³+2D−1とおきます。 f(1)=0となるので、因数定理より、f(D)は、Dー1で割り切れます。 組み立て除法 .....1....|.....1.......ー2.......0.......2.....ー1 ............................1.....ー1....ー1.......1 .................1......ー1.....ー1.......1...|...0 f(D)=(Dー1)(D³ーD²ーD+1) g(D)=D³ーD²ーD+1とおきます。 g(1)=0となるので、因数定理より、g(D)は、Dー1で割り切れます。 ......1......|......1......ー1......ー1.........1 ...............................1..........0......ー1 .....................1........0.......ー1...|.....0 g(D)=(Dー1)(D²ー1) ......=(Dー1)(Dー1)(D+1) f(D)=(Dー1)³(D+1) f(D)=0の解は、D=1（3重解），ー1 基本解は、x²・e^x，x・e^x，e^x，e^(ーx) 求める一般解は、 y=(C₁・x²+C₂・x+C₃)・e^x+C₄・e^(ーx) . . ℤℚℝℂ

マテマテカ国への高速道路？

2024/11/25 7:33

④の（１） (D²−D+5)y=sin(2x+1)…（ア） y=A・sin(2x+1)+B・cos(2x+1)…（イ）とおきます。 Dy=2A・cos(2x+1)ー2B・sin(2x+1)…（ウ） D²y=ー4A・sin(2x+1)ー4B・cos(2x+1)…（エ） （ア）に、（イ），（ウ），（エ）を代入して、 {ー4A・sin(2x+1)ー4B・cos(2x+1)} ..ー{2A・cos(2x+1)ー2B・sin(2x+1)} ........+5{A・sin(2x+1)+B・cos(2x+1)}=sin(2x+1) (A+2B)・sin(2x)+(ー2A+B)・cos(2x+1)=sin(2x+1) よって、 A+2B=1 ー2A+B=0 (A，B)=(1/5，2/5) 求める特殊解は、 y=(1/5)・sin(2x+1)+(2/5)・cos(2x+1)

沖田総司3

2024/11/26 17:42（編集あり）

① (D^4−2D^3+2D−1)y=0 y''''-2y'''+2 y'-y=0 (d/dx-1)³(d/dx+1)y=0 y(x)=C₄eˣx²+C₃eˣx+C₂eˣ+C₁e⁻ˣ ② (D^2−D+1)y=x^3 y''−y'+y=x³ (d/dx−(1-√3 )/2 )(d/dx−(1+√3)/2)=x³ y＝x³+3x²−6 +C₁eˣᐟ²cos(x√3/2)+C₂eˣᐟ²sin(x√3/2) ③ (Ｄ^3－3Ｄ−2)y=e^2x y'''-3y'-2y=e^2x (d/dx+1)²(d/dx−2)y＝e²ˣ y＝−xe²ˣ/2+3e²ˣ/2 +C₁e⁻ˣ+C₂xe⁻ˣ+C₃e²ˣ ④ ((d/dx)²−(d/dx)+5)y=sin(2x+1) y''-y'+5y=sin(2x+1)(d/dx) (2) 演算子法 (d/dx−(-1+√-19)/2)(d/dx−(-1-√-19)/2)y =sin(2x+1) y＝C₁eˣᐟ²sin(x(√19)/2)+C₂eˣᐟ²cos(x(√19)/2) +特殊解 さて、eᵃˣ•(d/dx)•e⁻ᵃˣ＝(d/dx−a) なので、 今、a＝(-1+√-19)/2)，b＝(-1−√-19)/2)と置くと、 eᵃˣ•(d/dx)•e⁻ᵃˣ•eᵇˣ•(d/dx)•e⁻ᵇˣ•y＝sin(2x+1) 順序に気をつけて、逆演算して行くと、 y＝eᵇˣ•(d/dx)⁻¹•e⁻ᵇˣ •eᵃˣ•(d/dx)⁻¹•e⁻ᵃˣ•sin(2x+1) ただし、(d/dx)⁻¹は、不定積分して末尾に+Cを付け加える、計算。 ⇔ y＝(1/5)sin(2x+1)+(2/5)cos(2x+1) +C₁eˣᐟ²sin(x(√19)/2)+C₂eˣᐟ²cos(x(√19)/2) (1) 未定定数法 y＝C₁eˣᐟ²sin(x(√19)/2)+C₂eˣᐟ²cos(x(√19)/2) +特殊解 までは同じ。 D＝((d/dx)²−(d/dx)+5)と置くと、 D•Asin(2x+1)+Bcos(2x+1) ＝−4Asin(2x+1)+2Acos(2x+1)+5Asin(2x+1) −4Bcos(2x+1)−2Bsin(2x+1)+5Bcos(2x+1) ＝Asin(2x+1)+2Acos(2x+1) +Bcos(2x+1)−2Bsin(2x+1) ＝(A−2B)sin(2x+1)+(2A+B)cos(2x+1) =sin(2x+1) y＝(1/5)sin(2x+1)+(2/5)cos(2x+1) +C₁eˣᐟ²sin(x(√19)/2)+C₂eˣᐟ²cos(x(√19)/2) (3) 線形法 D•Asin(2x+1)＝Asin(2x+1)+2Acos(2x+1) =sin(2x+1) D•Bcos(2x+1)＝−2Bsin(2x+1)+Bcos(2x+1) ＝0 より、 波形の重ね合わせが、cosを含まないためには、B＝−2A ，sinの振幅を合わすと、 y＝(1/5)sin(2x+1)+(2/5)cos(2x+1) +C₁eˣᐟ²sin(x(√19)/2)+C₂eˣᐟ²cos(x(√19)/2)