f:N→N\{0}、f(n)=n+1(Nは自然数全体)が全単射であることの証明は以下で合ってますか。 ただし、条件は以下の通りです。 •Rは実数体 •A⊂Rとするとき、Aが継承的であるとは ①0∈A ②n∈A⇒n+1∈A を満たすことです。 •Nはすべての継承的集合の共通部分です。 •Nの元を自然数という。 •H⊂NかつHが継承的⇒H=N (最後の条件はいわゆる数学的帰納法ですが、ここでは成り立つことを証明せずに用います。) [証明] 証明のために、以下の3つの命題を準備します。 ①任意の自然数nはn≧0. 「A={x∈R | x≧0}は継承的より、n∈N⊂Aようn≧0」 ②0<n<1となる自然数nは存在しない. 「A={x∈R | x≧1}とすると、AU{0}は継承的より、 0<n∈N⊂AU{0}より、n∈A,n≧1」 ③A⊂N\{0}が次の2つを満たすとする。 •1∈A •nは自然数。n∈A⇒n+1∈A このとき、A=N\{0} 「AU{0}は継承的かつNの部分集合より、AU{0}=N よって、A=N\{0}」 fが全単射であることの証明。まずn∈Nより、n+1∈N\{0}となる。 単射性:f(n)=f(n')なら、n+1=n'+1より、両辺に-1を足せばn=n'。 全射性:f(N)⊂N\{0}である。 1=0+1=f(0)∈f(N)。 n∈f(N)とすると、あるm∈Nが存在してf(m)=m+1=n。 よって、n+1=(m+1)+1=f(m+1)∈f(N)。 よって③よりf(N)=N\{0}となります。(証明終了)