1. [fの全射性] 任意のb∈Bに対し、 a≔g(b) ∈A を選ぶと f(a)=f(g(b))=f∘g(b)=id_B (b)=b よって全射 [fの単射性] f(a)=f(a')とします。 このとき、当然 g∘f(a)=g∘f(a') より id_A (a)=id_A (a') ∴a=a' よって単射 以上よりfは全単射。 全単射なので逆写像(逆像でなく!) f⁻¹:B→A が存在し、任意のb∈Bに対し f⁻¹(b)=id_A (f⁻¹(b))=g∘f(f⁻¹(b))=g(f∘f⁻¹(b))=g(b) ∴f⁻¹=g 2. 一般に、写像fについて C⊂f⁻¹(f(C)) は常に成立する(集合論のテキスト等参照)ので、 ⊃の方のみ示します。 任意にc'∈f⁻¹(f(C))をとります。 このときf(c')∈f(C)なので ∃c∈C s.t. f(c')=f(c) f:単射よりc'=c c∈Cなのでc'∈Cとなり C⊂f⁻¹(f(C)) が従います。 3. 一般にf(f⁻¹(E))⊂Eなので、先程同様逆向きの⊃のみ示します。 任意にe∈Eをとります。 f:全射より、 ∃e' s.t. e=f(e') よって e'∈f⁻¹(e) ∴e=f(e')∈f(f⁻¹(e)) となり、f(f⁻¹(E))⊃Eが従います。 4. fは単調増加なのでほぼ明らかですが、 f(x)=f(x')とすると logx=logx' ∴x=e^logx'=x' よって単射です。 5. これは意外と述べるのが難しいです。 任意のy∈ℝに対してy=f(x)となるxを明示するのは困難なので技を使います。 任意にy∈ℝをとり、g(x)≔f(x)-yとおきます。 fの定義域はℝ全体よりgの定義域もℝ。 lim_(x→∞) g(x)=+∞ lim_(x→-∞) g(x)=-∞ なので、十分大きなM∈ℝと十分小さなm∈ℝに対して g(m)<0かつg(M)>0 そしてgは明らかにℝ上連続(x²と2x-3の積で連続関数の積だから)なので中間値の定理より g(ξ)=0 を満たすξ∈[m,M]が存在します。 このときf(ξ)-y=0より y=f(ξ) 従って ∀y∈ℝ, ∃ξ∈ℝ s.t. f(ξ)=y が言えたのでfは全射です。 とは言えmとMを取る時点で暗に全射性を認めていることになるので、やはり微妙かも、、、