回答（2件）

205355231

2024/11/17 21:52

∫[0→1](x＋t)²f'(t)dt ＝x²∫[0→1]f'(t)dt ＋2x∫[0→1]tf'(t)dt ＋∫[0→1]t²f'(t)dt 各積分は定積分のため、定数となる。よりこの式は ax²＋2bx＋c (a,b,cは定数) となる ただし ∫[0→1]f'(t)dt ＝a ① ∫[0→1]tf'(t)dt ＝b ② ∫[0→1]t²f'(t)dt ＝c ③ である。 そうすると与えられた方程式は ∫[0→x]f(t)dt ＋ax²＋2bx＋c＝x²＋C ∫[0→x]f(t)dt ＝(1－a)x²－2bx＋C－c となる。片々xで微分して f(x)＝2(1－a)x－2b となる。 また、与えられた方程式にx＝0を代入すると C＝c ④ が得られる。 ①より a＝2(1－a) から a＝2/3 ②から b＝1－a＝1/3 ③,④から C＝c＝2/3(1－a)＝2/9 よって f(x)＝2/3(x－1) 十分性の確認はf(x)を与えられた方程式に入れて成り立つか調べればいい

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エルゴード熊本

2024/11/17 21:50

急いでいるらしいので答だけ。 f(x)=(2/3)x-2/3, C=2/9 両辺を x で2階微分すると f'(x) が求められるので頑張って計算する。