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知恵袋ユーザー

2023/10/3 7:59

44回答

指数対数の単元で、なぜ真数は正の数なんです？ log[-3]-27だったら-3^3=-27となって真数が負の値でも成立しますよね。どなたかご教授いただきたいです。

指数対数の単元で、なぜ真数は正の数なんです？ log[-3]-27だったら-3^3=-27となって真数が負の値でも成立しますよね。どなたかご教授いただきたいです。

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回答（4件）

zeta0208

カテゴリマスター

2023/10/3 9:35

まず最初に「指数関数」を定義する際に 指数の計算は 「指数法則に従って計算する」 と定義し、この定義に従って指数は実数に拡張され、指数関数が定義される。 これが中学で学習する指数とは大きく異なる点です。 中学では指数は 自然数で定義され 「n個のaの掛け合わせをaのn乗」 と定義します。 これを a^n と指数を使って記述します。 そしてこの定義からは m,nを自然数として a^(m+n) = a^m ✕ a^n a^mn = (a^m)^n = (a^n)^m という「公式」が導出され、これを「指数法則」といいます。 高校では、この指数法則が公式ではなく定義としているところが異なります。 指数の計算は 0 < a として a^(s+t) = a^s ✕ a^t a^st = (a^s)^t = (a^t)^s としと計算すると定義し、これん「指数法則」といいます。 この指数法則で定義された指数であればどのような数でもよく、自然数に限らず実数全体に拡げることができます。 s,tが自然数の場合は、中学で学習した指数の定義もそのまま使えます。 ちなみに、0乗は指数法則に従うと a^(0+0) = a^0 ✕ a^0 より a^0 ≠ 0 と定義すると a^0 = 1 となります。 nを自然数として指数法則に従うと a^(n+(-n)) = a^n ✕ a^(-n) a^0 = 1 と先に定義されているので 1 = a^n ✕ a^(-n) より a^(-n) = 1/a^n と定義され、これにより、整数乗が定まります。 有理数乗、無理数乗も指数法則に従って定義されます。 質問の 真数条件は真数とは a^s のことであり 0 < a で定義された a^s は 0 < a^s となります。 これが、真数条件です。 なお、a < 0 の場合は 複素数に拡がります。 √(-1) を指数を使うと √(-1) = (-1)^(1/2) = i であることからも想定できます。 複素数の範囲では 底をネイピア数 e として e^iπ = -1 より log(-1) = log(e^iπ)=iπ となりますがまだまだ先のことになります。

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san********

2023/10/3 8:17

＞指数対数の単元で、なぜ真数は正の数なんです？ 「実数の指数法則と複素数の指数法則」 https://schoolhmath.blogspot.com/2021/05/blog-post.html のサイトが参考になると思います。 「指数法則が、高校２年生までは、指数関数の指数が整数である場合に限って、指数法則の基本条件が緩められて、指数関数の底は０で無いこと。底が負でも良いとされていました。しかし、指数が有理数になると、その条件では指数法則が成り立たなくなり、指数関数の底は正の実数であるという基本条件を満足する必要があります。指数法則のこの基本条件は、指数が実数や複素数になっても変わりません。 《指数法則とは》 そもそも、指数法則とは、累乗の関係式です。下記に指数法則の一覧を示します。 」 この指数法則を成り立たせる条件を満足させるために必要な条件です。

画像
nij********

カテゴリマスター

2023/10/3 8:12

axa=a・a=a²=a^2 a÷b=a/b とします。 (-3)³=-27 (-3)^(1/2)=√(-3)=√3・i (-3)^√2=(?) デカルト座標の平面では、 指数関数 対数関数 のグラフが 描けませんね。 底a 真数M の対数を、 loga_M とします。 (定義) a>0,a≠1 とします。 aⁿ=M⇔n=loga_M (nは実数) M =(正の数a)ⁿ >0 ですね。 (まとめ) 底aは、1ではない正の数 真数Mは、正の数 の場合で、 定義しています。

osi********

カテゴリマスター

2023/10/3 8:06

高校の対数では、真数は必ず正の値です。 正の値の場合しか扱いません。

知恵袋ユーザー

質問者2023/10/3 8:07

つまり、数学的に負の値は存在するけど高校生の時は考えなくてもいいってことですか？