以下に、命題論理の推論規則のみを使って $((a \rightarrow b) \rightarrow (c \rightarrow d)) \rightarrow ((a \land b \land c) \rightarrow d)$ を証明する手順を示します。 **証明** 1. $(a \rightarrow b) \rightarrow (c \rightarrow d)$ (前提) * これは証明を開始するための前提条件です。 2. $a \land b \land c$ (仮定、条件法) * $\rightarrow$ 形の命題を証明するために、結論の $\rightarrow$ の左側を仮定します。 3. $b$ (単純化規則 (Simp) 2 より) * 連言 ($ \land $) の規則の一つで、$P \land Q$ から $P$ と $Q$ をそれぞれ導き出すことができます。ここでは $a \land b \land c$ から $b$ を導き出しています。 4. $b \lor \neg a$ (付加規則 (Add) 3 より) * 選言 ($ \lor $) の規則の一つで、$P$ から $P \lor Q$ を導き出すことができます。ここでは $b$ から $b \lor \neg a$ を導き出しています。 5. $\neg a \lor b$ (交換法則 (Comm) 4 より) * 選言の交換法則 $P \lor Q \equiv Q \lor P$ を用いて、$b \lor \neg a$ を $\neg a \lor b$ に書き換えます。 6. $a \rightarrow b$ (含意規則 (Impl) 5 より) * 含意の定義 $P \rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q$ を用いて、$\neg a \lor b$ を $a \rightarrow b$ に書き換えます。 7. $c \rightarrow d$ (モーダスポネンス (MP) 1, 6 より) * モーダスポネンスは、$P$ と $P \rightarrow Q$ から $Q$ を導き出す規則です。ここでは 1 の $(a \rightarrow b) \rightarrow (c \rightarrow d)$ と 6 の $a \rightarrow b$ から $c \rightarrow d$ を導き出しています。 8. $c$ (単純化規則 (Simp) 2 より) * 2 の $a \land b \land c$ から $c$ を導き出します。 9. $d$ (モーダスポネンス (MP) 7, 8 より) * 7 の $c \rightarrow d$ と 8 の $c$ から $d$ を導き出します。 10. $(a \land b \land c) \rightarrow d$ (条件法 (CP) 2-9 より) * 2 で仮定した $a \land b \land c$ から 9 で $d$ を導き出したので、条件法により $(a \land b \land c) \rightarrow d$ を結論づけます。 11. $((a \rightarrow b) \rightarrow (c \rightarrow d)) \rightarrow ((a \land b \land c) \rightarrow d)$ (条件法 (CP) 1-10 より) * 1 を前提として、10 の $(a \land b \land c) \rightarrow d$ を導き出したので、条件法により $((a \rightarrow b) \rightarrow (c \rightarrow d)) \rightarrow ((a \land b \land c) \rightarrow d)$ を結論づけます。 **使用した推論規則** * **前提 (Premise)**: 証明の出発点となる命題。 * **条件法 (Conditional Proof, CP)**: $P$ を仮定して $Q$ を導き出せた場合、$P \rightarrow Q$ を結論づける規則。 * **単純化規則 (Simplification, Simp)**: $P \land Q$ から $P$ または $Q$ を導き出す規則。 * **付加規則 (Addition, Add)**: $P$ から $P \lor Q$ を導き出す規則。 * **交換法則 (Commutation, Comm)**: $P \lor Q \equiv Q \lor P$ や $P \land Q \equiv Q \land P$ のように、選言や連言の順序を交換する規則。 * **含意規則 (Implication, Impl)**: $\neg P \lor Q \equiv P \rightarrow Q$ のように、選言と含意を相互に変換する規則。 * **モーダスポネンス (Modus Ponens, MP)**: $P$ と $P \rightarrow Q$ から $Q$ を導き出す規則。 これらの推論規則は、命題論理における基本的な推論規則であり、これらのみを用いて所望の命題を証明することができました。