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2025/1/17 23:59

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nが平方数でない自然数のとき、√nは無理数であることを示してください

nが平方数でない自然数のとき、√nは無理数であることを示してください

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ベストアンサー

rak********

2025/1/18 1:02

√nが有理数a/bに等しいと仮定すると √n = a/b (aは非負整数、bは正整数) となり、これより n = a^2/b^2 nb^2 = a^2 …(#1) となる。 nは平方数ではない自然数なので、nを素因数分解すれば少なくとも1個の素数pのべき乗数が奇数になる。 b^2を素因数分解した時の素数pのべき乗数は偶数(0を含む)なので、nb^2を素因数分解した時の素数pのべき乗数は奇数である。 一方a^2を素因数分解した時の素数pのべき乗数は偶数(0を含む)なので、(#1)の両辺は素因数分解した時の素数pのべき乗数が一致しない。これは矛盾である。 ゆえに仮定は誤りで、√nは無理数である。

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kyo********

2025/1/19 2:31

√nが 有理数なら ① p√n = [自然数] に なる最小の自然数 p を 考えて p√n÷p = m 余り r と おくと r√n = (p√n - pm)√n = pn - pm√n = [自然数] - [自然数] = [整数] 他方、0 < r < p なので ① に 矛盾 です.