最初から間違えています。aₙ₊₁=aₙ+7·3ⁿならば、 階差数列7·3ⁿとなるので階差数列の一般項の公式に当てはめれば解けます。しかし、今回はaₙに係数-1/2がついていますから階差数列ではありません。 <解法> aₙ₊₁=-1/2·aₙ+7·3ⁿ ←両辺×1/3ⁿ⁺¹ aₙ₊₁/3ⁿ⁺¹=-1/2·(aₙ/3·3ⁿ)+7/3 aₙ₊₁/3ⁿ⁺¹=-1/6(aₙ/3ⁿ)+7/3 , ここで、aₙ/3ⁿ=bₙとおくとbₙ₊₁=-(1/6)bₙ+7/3 bₙ₊₁ , bₙ=Aとおいて特性方程式を解くと、 bₙ₊₁-2=-1/6(bₙ-2) , bₙ-2=cₙとおくと cₙ₊₁=-(1/6)cₙ , c₁=b₁-2=(a₁/3)-2=1/2 よって、数列{cₙ}は初項1/2 , 公比-1/6の等比数列 ∴cₙ=1/2·(-1/6)ⁿ⁻¹ , bₙ=cₙ+2より、bₙ=1/2(-1/6)ⁿ⁻¹+2 aₙ/3ⁿ=bₙ ⇔ aₙ=3ⁿbₙに代入して、 aₙ=3ⁿ{1/2(-1/6)ⁿ⁻¹+2} aₙ=3ⁿ/2(-1/6)ⁿ⁻¹+2·3ⁿ....[答] 模範解答とは違う式かもしれませんが、おそらくそれは式変形したものですのでどちらも正解です。