数学の余弦定理の証明について質問です。 先日、高校の先生が余弦定理をベクトルを使って証明していました。以下がその証明の全てです。 →は本来文字の上にあると思ってください。 ────── 三角形ABCがある。AB→＝b→、AC＝c→とする。 BC→＝c→－b→より、 |BC→|＝|c→－b→| 両辺平方して展開すると b→・c→＝|b→||c→|cos∠Aより、 BC^2＝AB^2＋AC^2－2×AB×AC×cos∠A 【証明終】 ────── 私はそれまで頂点から対辺に垂線を下ろして証明するやり方しか知らなかったので、こんな簡単に証明出来るんだと感動したのですが、よく考えると内積は余弦定理から導かれているような気がして循環論法になっているのではないかと不安になってしまいます。教科書では、内積は余弦定理で説明されていました。 一応先生にもその旨を質問したのですが、「内積は公式だから。あなたの言う証明だって、三平方の定理を使ってるじゃない。でもそんなの一々証明しないでしょ。それと一緒」と言われました。 そこで、私が質問したいことは以下の2つです。 ①前述した証明は循環論法になっていないのか。つまり、内積の公式を(高校範囲で)余弦定理を使わずに導けるのか。 ②もし仮に余弦定理を証明する問題が大学入試に出たとして、前述した証明で正解になるのか。 とても程度の低い話で申し訳ないのですが、何卒ご回答よろしくお願いします。