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次の問題を解説付きで解いてほしいです。 M=[0,1)に対して (1)[0,1/2]∈B(M)を示せ。 (2)M上の無理数全体の集合がボレル集合であることを示せ。
次の問題を解説付きで解いてほしいです。 M=[0,1)に対して (1)[0,1/2]∈B(M)を示せ。 (2)M上の無理数全体の集合がボレル集合であることを示せ。 B(M)はM上(位相空間など)のボレルσ加法族です。 よろしくお願いいたします。
回答（1件）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12307303952
断る必要は多分ないですが、ℝをEuclid空間ℝとして、Mにはℝからの相対位相が入っています。 ⑴ [0, ½]はMの閉集合なので [0, ½] ∈ℬ(M) ⑵ M上の有理数全体がℬ(M)の元なので、σ-加法族の定義からその補集合もまたℬ(M)の元、というロジックです。 それを丁寧に説明すれば良いです。 以下では全体集合をMとします。 M上の無理数全体をAと書くとき、 A=(M∩ℚ)=(M∩ℚ)ᶜ ここで、M∩ℚは可算集合なので M∩ℚ=∪_(k∈ℕ) {qₖ} と表せるので M∩ℚ=∪ₖ ∪ₙ (qₖ-n⁻¹, qₖ] ∈ℬ(M) ∴A=(M∩ℚ)ᶜ ∈ℬ(M)
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