相対位相の特徴付けの証明をしました。合ってますか？ (X,O[X])を位相空間、Y⊂Xとします。O[Y]はYの相対位相、O[Y]'はYの位相とします。 問題は、 任意の位相空間(Z,O[Z])と、任意の写像f:Z→Yに対して 「f:(Z,O[Z])→(Y,O[Y]')は連続 ⇔包含写像i:(Y,O[Y]')→(X,O[X])とfの合成写像 iof:Z→Xは連続」・・・＊ が成り立つならば、O[Y]'は相対位相であるというものです。 逆に、O[Y]'がYの相対位相なら＊は成り立ちます。 [問題の証明] 上の逆に…から、 「iof:Z→Xは連続⇔f:(Z,O[Z])→(Y,O[Y])は連続」 が成り立ちます。(O[Y]は相対位相) したがって、 「f:(Z,O[Z])→(Y,O[Y]')は連続 ⇔iof:Z→Xは連続 ⇔f:(Z,O[Z])→(Y,O[Y])は連続」 が成り立ちます。 下のAppendixから、O[Y]'=O[Y]です。 (証明終了) Appendix Xは集合、O[X]、O[X]'をXの位相とします。 任意の位相空間(Z,O[Z])と、任意の写像f:Z→Xに対して 「f:(Z,O[Z])→(X,O[X])は連続 ⇔f:(Z,O[Z])→(X,O[X]')は連続」 が成り立つとします。 このとき、O[X]=O[X']が成り立ちます。 [Appendixの証明] 恒等写像Idx:(X,O[X]')→(X,O[X]')は連続より、 Idx:(X,O[X]')→(X,O[X])は連続です。 O[X]⊂O[X]'を示します。 O∈O[X]を任意にとります。O=φ,Xなら位相の定義よりO∈O[X]'です。O≠φとします。 x∈Oを任意にとります。Idx(x)=x∈OよりIdxの連続性から、あるO_x∈O[X]'が存在して、 x∈O_x, O_x=Idx(O_x)⊂O となります。 O=U[x∈O] O_x∈O[X]'です。したがって、 O[X]⊂O[X]'となります。 同様に、O[X]'⊂O[X]が示せるので、O[X]=O[X]'です。 (Appendixの証明終了)
大学数学
