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her********

2024/11/21 13:23

証明すべき等式を①とする [1] n=1 のとき (左辺) = 1² = 1 (右辺) = 1/3・1・1・3 = 1 ゆえに、①は成り立つ [2] n=k のとき①は成り立つと仮定すると 1²+3²+5²+...+(2k-1)² = 1/3・k(2k-1)(2k+1) n=k+1 のとき 1²+3²+5²+...+(2k-1)²+(2k+1)² = 1/3・k(2k-1)(2k+1) + (2k+1)² = 1/3・(2k+1){k(2k-1)+3(2k+1)} （←1/3・(2k+1)で括る） = 1/3・(2k+1)(2k²+5k+3) = 1/3・(2k+1)(k+1)(2k+3) = 1/3・(k+1)(2k+1)(2k+3) ゆえに、n=k+1 のときも①は成り立つ 以上より、すべての自然数nについて①は成り立つ

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その他の回答（2件）

1252594706

2024/11/21 13:25

1²+3²+5²+7²+...+(2k-1)²=1/3k(2k-1)(2k+1) として、これに2(k+1)-1=2k+1を加えたものが、1/3(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1) =1/3(k+1)(2k+1)(2k+3)に等しいことを示せばよいです。 1/3k(2k-1)(2k+1)+2k+1=1/3(k+1)(2k+1)(2k+3) 1/3k(2k-1)+1=1/3(k+1)(2k+3) あとは展開したら簡単に示せます

1251004292

2024/11/21 13:22

n=kの時 1²+…+(2k-1)²=(1/3)k(2k-1)(2k+1) が成り立つと仮定 n=k+1の時 1²+…+(2k-1)²+(2k+1)² =(1/3)k(2k-1)(2k+1)+(2k+1)² ←仮定を代入 =(1/3)(2k+1){k(2k-1)+3(2k+1)} =(1/3)(2k+1){(2k²-k)+(6k+3)} =(1/3)(2k+1)(2k²+5+3) =(1/3)(2k+1)(2k+3)(k+1) =(1/3)(k+1){2(k+1)-1}{(2(k+1)+1} よってn=k+1の時も成り立つ