そもそも普段R加群とかを考えるときの具体例は演算を追加することで環になっているものも多いですからね。Mを半群にしたらどうなのかとかモノイドにしたら…のように通常考える定義より範囲を狭くするなら疑問になりえますが、今考えているものに条件を追加しただけの環は特に議論する意味がないかと思います。（環が加法でアーベル群である以上環のバージョンを考えても結局群と同じことが成り立つに決まっているので。） 例えば環A上の自由加群なんてのはMが環のわかりやすい例だと思います。