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2024/11/20 7:35

22回答

円に内接する三角形ABCにおいて、AB=10、BC=6，角B＝120°とする。また、弦ACに関して点Bと反対側の孤AC上に点Pをとる。四角形ABCPの面積の最大値を求めよ

円に内接する三角形ABCにおいて、AB=10、BC=6，角B＝120°とする。また、弦ACに関して点Bと反対側の孤AC上に点Pをとる。四角形ABCPの面積の最大値を求めよ この問題についての答えがわからないので解説も含めて教えてください。 それと、aiに質問した時に「円に内接した四角形が最大となるのは対角線の交点が直角になったとき二倍→三角形の面積の二倍が答えとなる」というような返答が帰って来たのですが、これについての真偽も教えてください

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ベストアンサー

匿

カテゴリマスター

2024/11/20 8:06

△ABCの面積が固定なので、□ABCPの面積が最大になるのは、△ACPの面積が最大になる時です。 △ACPの面積が最大になるのは、ACの中点と円の中心Oを通る直線と弧ACの交点がPの時になります。 AC²=10²+6²-2×10×6×cos120°      =100+36-120×(-1/2)      =100+36+60      =196 AC>0だから、 AC=√196     =14 円の半径をRとすると、 14/sin120°=2R 7/(√3/2)=R 14/√3=R R=14√3/3 ACとOの交点をDとすると、 AD=CD=7 OD²=(14√3/3)²-7²       =196/3-147/3       =49/3 OD>0だから、 OD=7/√3     =7√3/3 PD=14√3/3+7√3/3     =21√3/3     =7√3 △ACPの面積は、 △ACP=14×7√3÷2=49√3 △ABCの面積は、 △ABC=10×6×sin120°×1/2          =30×√3/2          =15√3 □ABCP=49√3+15√3            =64√3

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光明

2024/11/20 8:05

四角形ABCP＝△ABC+△APC △ABC＝(10×6sin120°)/2＝15√3 AC²＝10²+6²-2×10×6cos120°＝136+60＝196＝14²より、AC＝14(＞0) △APCの最大値＝7²√3＝49√3 (←正三角形の時、底辺ACに対する高さ最大) ∴ 四角形の最大面積＝15√3+49√3＝64√3 円の最大内接四角形は正方形で、面積＝(直径²)/2となります。 対角線が垂直に2等分し合うわけで、 単に直交すればよいってモンじゃありません。