数学の確率 ポリアの壺で数学的帰納法を用いた証明をいろいろなサイトを見てきたのですが、どの証明もn=kにおける仮定がおかしいような気がします。例えば以下のような 問題 (赤い球がa個、白い球がb個入った壺があります。この中から、1つ球を取り出して、取り出した球が赤い球ならば、その赤い球と新たにもう1個の赤い球を壺に戻すことにします。取り出した球が白い球ならば、その白い球と新たにもう1個の白い球を壺に戻すことにします。このような作業を繰り返して行います。このとき、何回目に取り出した場合でも、その取り出した球が赤い球である確率Pnはa/(a+b) であることを証明せよ。) があったとして 多くの解答では 「n=1の時は自明 n=kの仮定でPk=a/(a+b)として、 1回目で赤が出た時k+1回目の確率は (a/(a+b))×(a+1)/(a+b+1)…① 1回目で白が出た時k+1回目の確率は (b/(a+b))×(a)/(a+b+1)…② それらを足してn=k+1の時の確率は a/(a+b) よって数学的帰納法により、題意は示された。」 と記されています。しかし、n=kにおける仮定時、Pnを定数で定めてしまってはn=k+1の時に①での (a+1)/(a+b+1)や②でのa/(a+b+1)をかけるところで仮定を改変させてしまっている気がします。 正しく仮定をを用いるためには 「初期状態における赤い球の数をx白い球の数をyとした時そこからk回目後に赤い球を引く確率はx/(x+y)であると仮定する」と設定するべきではないのでしょうか。 回答よろしくお願いします。