回答（2件）

ロカサマスタスキノバヴァントゥ

2024/11/15 0:04（編集あり）

tec********さん 2024/11/14 11:53 1) x´－3x=e^(3t) 一階線形微分方程式の標準形 両辺に積分因子 e^∫(-3)dt を掛けて積分 xe^-3t=t+C x=(t+C)e^3t 2) (dx/dt)²+x²+2x=3 dx/√{4－(x+1)²}=±dt 変数分離形 sin⁻¹(x+1)/2=±t+C x=－1±2sin(t+C) https://www.wolframalpha.com/input?i=+%28dx%2Fdt%29%C2%B2%2Bx%C2%B2%2B2x%EF%BC%9D3&lang=ja 3) x“−2x´+2x=4t+e^t 特性方程式 λ²−2λ+2=0 を解いて t= 基本解 eᵗ cost, eᵗ sint 特殊解を xp=αeᵗ+βt+ɤ と置き、原式に代入 xp= 【別解】xp=(4t+e^t)/(D²−2D+2) 一般解 x=(C₁cost+C₂sint)eᵗ +eᵗ+2t+2 4) (3t²+x²)x´=2tx 両辺に積分因子 1/x⁴ を掛けて (3t²x´/x⁴－2t/x³)+x´/x²=0 両辺をｔで積分 －t²/x³－1/x＝C 一般解 Cx³+x²+t²=0 〔特殊解 x=0 〕 * 一般解 x³+C(x²+t²)=0 と表せば x=0 も表せる 【別解】2txdt－(3t²+x²)dx=0 ① Pdt + Qdx = 0 同次形だから λ=1/(tP+xQ) も積分因子 λ＝－1/x(t²+x²) ①の両辺に λ を掛けて積分 －log(t²+x²)+3log|x|=C₁ 【別解2】同次形として解く 5) e^(2x-4)=(dx/dt)²+1 dx/√{e^(2x-4)－1}＝±dt 変数分離形 ±t=∫dx/√{e^(2x-4)－1} tan⁻¹√{e^(2x-4)－1}＝±t＋C √{e^(2x-4)－1}＝±tan(t＋C) e^(2x-4)＝tan²(t＋C)+1=1/cos²(t＋C) e^(x-2)＝±1/cos(t＋C) x=2－log|cos(t＋C)| https://www.wolframalpha.com/input?i=e%5E%282x-4%29%EF%BC%9D%28dx%2Fdt%29%C2%B2%2B1&lang=ja

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マテマテカ国への高速道路？

2024/11/14 12:35

. . 微分方程式 （４） (3t²+x²)(dx/dt)＝2tx dx/dt＝2tx/(3t²+x²) dx/dt＝2(x/t)/{3+(x/t)²}…（ア） 同次形です。 y=x/t…（イ）とおくと、 x=ty 両辺を、tで微分して、 dx/dt=1・y+t・(dy/dt) dx/dt=y+t(dy/dt)…（ウ） （ア）に、（イ），（ウ）を代入して、 y+t(dy/dt)=2y/(3+y²) t(dy/dt)=ー(y+y³)/(3+y²) 両辺を、t(y+y³)/(3+y²)で割って、 {(3+y²)/(y+y³)}(dy/dt)=ー1/t 両辺を、tで積分して、 ∫{(3+y²)/(y+y³)}(dy/dt)dt=∫(ー1/t)dt ∫{(3+y²)/(y+y³)}dy=ーlog|t|+A 部分分数分解です。 (3+y²)/(y+y³)=a(1/y)+(by+c)/(1+y²)とおきます。 分母をはらって、 y²+3=a(y²+1)+y(by+c)…（エ） yについての恒等式なので、 y=0で成り立ちます 3=a （エ）に代入して、 y²+3=3(y²+1)+y(by+c) ー2y²=y(by+c) ー2y=by+c 係数を比較して、 b=ー2 c=0 よって、 ∫{3(1/y)+(ー2y/(1+y²)}dy=ーlog|t|+A 3log|y|ーlog|y²+1|=ーlog|t|+A log|(ty³/(y²+1)|=A |ty³/(y²+1)|=e^A ty³/(y²+1)=±e^A ここで、C=±e^A≠0とおいて、 t(x/t)³/{(x/t)²+1}=C x³/(x²+t²)=C x³=C(x²+t²) . .